真正的火羽白

# 二阶矩过程基础概念 二阶矩过程是指随机过程 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T}，其中对于任意 t∈Tt \in Tt∈T，随机变量 X(t)X(t)X(t) 的均值 E[X(t)]E[X(t)]E[X(t)] 和方差 Var[X(t)]Var[X(t)]Var[X(t)] 都存在且有限。 # 均值、相关函数与协方差函数 对于二阶矩过程，其均值、自相关函数和自协方差函数总是存在： 自相关函数 RX(t1,t2)=E(X(t1)X∗(t2))R_X(t_1, t_2) = E\left( X(t_1) X^*(t_2) \righ

# 晶格热容 # 晶格热容概述 固体热容的来源 固体中的热容主要来自两个部分： 晶格热容：来源于固体的晶格热运动。 电子热容：来源于电子的热运动，只在极低温下对于金属比较显著，通常情况下可忽略不计。 比热容 比热容，也称比热，是指单位质量的物质在温度改变一个单位时吸收或释放的内能。在恒定体积下，固体的比热容可以表示为： CV=(∂Eˉ∂T)VC_V=\left(\frac{\partial \bar{E}}{\partial T}\right)_V CV​=(∂T∂Eˉ​)V​ 实验现象 实验表明，在室温及更高温度下，几乎所有单原子固体的比热容都接近于 3Nk

# 简介 晶体中所有原子都在各自的平衡位置附近进行集体振动，这种振动可以被看作一系列独立的简谐振动。在量子力学中，这些简谐振动的能量是量子化的，每个能量量子被称为一个声子。本笔记将详细阐述晶格振动量子化的理论基础、声子的性质以及其在材料科学中的应用和实验测量方法。 # 谐振子的能量本征值和本征函数 线性谐振子是描述微观粒子运动的常用模型，也是量子力学中一个可精确求解的能量本征值问题。 # 能量本征方程 我们用薛定谔能量本征方程来求解一维谐振子的能量本征值和本征函数。将谐振子的平衡位置作为坐标原点，势能的零点也选在原点，则其势能可表示为： F=−dV/dx=−βx,

# 晶格模型与绝热近似 # 静止晶格模型的局限性 静止晶格模型无法解释固体的许多重要物理性质。在这种模型中，原子被固定在平衡位置，无法振动，这导致： 无法解释热性质： 晶格的振动是固体比热、热膨胀等平衡性质的根本来源，也是热传导等输运性质的重要机制。静止模型无法解释这些现象。 电导率“无限大”： 根据布洛赫定理，电子在严格周期性势场中运动时不会发生散射，因此电导率将是无限大。然而，实际晶体中存在原子振动，这打破了严格的周期性，为电子提供了散射机制，从而使电导率有限。 绝缘体是“绝热体”： 在静止晶格模型下，绝缘体中的电子处于满带，无法参与输运过程，因此模型无法解释绝缘体丰富的物理性质，例如热

# 霍尔效应简介 当电流垂直于外部磁场通过导体时，在垂直于电流和磁场方向的两个侧面之间会产生一个电势差，这个现象被称为霍尔效应。该电势差称为霍尔电压。 # 霍尔电压与霍尔电场 在霍尔效应中，磁场对运动电荷施加洛伦兹力，从而在导体内部产生一个电场，即霍尔电场 EHE_HEH​。该电场对电荷的电场力与洛伦兹力大小相等、方向相反，达到动态平衡。 对于电子（带负电）： 洛伦兹力：FL=qvxBz=−evxBzF_L = qv_x B_z = -ev_x B_zFL​=qvx​Bz​=−evx​Bz​ 霍尔电场力：FE=qE

# 功函数与接触电势 # 热电子发射与功函数 # 热电子发射现象 金属被加热时，其内部大量自由电子因获得足够能量而克服表面势垒逸出的现象，被称为热电子发射。金属内的自由电子如同气体分子一样进行着无规则的热运动，其动能遵循一定的统计分布。在金属表面，存在一种阻碍电子逃逸的作用力，电子若要逸出，必须克服此阻力做功，这部分功称为逸出功 (Work Function)。 在室温下，仅有极少数电子的动能足以超过逸出功，因此逸出的电子数量微乎其微。然而，当金属温度升高至1000℃以上时，动能超过逸出功的电子数目会急剧增多，从而形成显著的热电子发射。 金属的热电子发射电流密度 jjj 与绝对温度 TTT 呈

# 半导体器件基础 # 半导体电子器件 二极管： 类型：金属-半导体二极管、半导体PN结二极管。 应用：整流、混频。 晶体管（三极管）： 类型：半导体晶体管、金属-氧化物-半导体场效应管（MOSFET）。 应用：交流信号放大。 集成电路： 特点：在同一芯片内集成无数个晶体管、电阻、电容等。 应用：广泛应用于计算机、手机等领域，无所不在。 # 半导体光子器件 光学吸收： 太阳能电池：将光能转化为电能，作为电源给负载供电。主要以硅（Si）材料为主。 光电探测器：将光信号转换为电信号。常用材料包括Si、锗（Ge）、砷化铟镓（InGaAs）。 产生光信号： 发光二极管（

# 平衡态与非平衡态的电子分布 在研究金属中的电子输运时，首先需要理解电子在不同状态下的分布情况。 平衡态：当金属中没有外加电场时，电子处于热力学平衡状态。此时，电子在 kkk 空间（动量空间）的分布遵循费米-狄拉克分布函数 f0(k)f_0(k)f0​(k)。由于对称性，电子在各个方向的运动是随机且相互抵消的，因此宏观电流密度为零。 非平衡态：当外加电场时，电子的分布偏离了平衡态。电子在 kkk 空间达到一个新的稳定态，其统计分布函数变为 f(k)f(k)f(k)。这个新的定态分布函数 f(k)f(k)f(k) 是产生电流的根源。 非平衡态下，单位体积内电子的总电流密度 jjj 可表示为

# 准经典运动的理论基础 # 准经典运动的条件 准经典运动模型主要在以下条件下适用： 外部作用场：外加电场或磁场是恒定且足够弱的。 电子状态：不考虑电子在不同能带间的跃迁。 粒子相互作用：不考虑电子的衍射、干涉以及碰撞等量子效应。 # 准经典粒子 准经典粒子是一种近似概念，其动量和位置在满足测不准关系的范围内可以被近似地确定。 ΔrΔp≥ℏ2, ΔrΔk≥12\Delta r\Delta p\ge \frac{\hbar}{2},~\Delta r\Delta k\ge\frac{1}{2} ΔrΔp≥2ℏ​, ΔrΔk≥21​ 在晶体中，电子的运动状态由一个电子波包来描述，这个波包包含了

# 布洛赫定理 # 周期性势场下的电子运动 在晶体中，电子受到周期性势场 V(r⃗)=V(r⃗+R⃗n)V(\vec{r}) = V(\vec{r}+\vec{R}_n)V(r)=V(r+Rn​) 的作用，其中 R⃗n\vec{R}_nRn​ 是晶格原胞的平移矢量。根据布洛赫定理，在这样的势场中运动的电子的波函数 ψ(r⃗)\psi(\vec{r})ψ(r) 具有以下形式： ψ(r⃗)=eik⃗⋅r⃗u(r⃗)\psi(\vec{r}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}u(\vec{r}) ψ(r)=eik⋅ru(