真正的火羽白

# Metropolis-Hastings (MH) 算法 # 算法流程 定义目标分布与提议分布 目标分布为 p(θ∣y)p(\theta \mid y)p(θ∣y)，这是我们希望采样的分布。 提议分布（Proposal Distribution）为 g(θ∗∣θ(t))g(\theta^* \mid \theta^{(t)})g(θ∗∣θ(t))，用于生成新的候选样本 θ∗\theta^*θ∗。 迭代采样过程 给定当前样本 θ(t)\theta^{(t)}θ(t)。 从提议分布中采样一个候选值：θ∗∼g(θ∣θ(t))\theta^* \sim g(\theta \mid \t

# 概述：为什么贝叶斯推断需要采样 在贝叶斯推断中，我们面临的主要挑战是计算的复杂性。无论是参数的后验分布 p(θ∣y)p(\theta \mid y)p(θ∣y) 还是后验预测分布 p(y~∣y)p(\tilde{y} \mid y)p(y~​∣y)，它们通常都没有封闭形式的解析解，这使得直接进行精确计算变得极其困难。此外，后验分布 p(θ∣y)∝p(θ)p(y∣θ)p(\theta \mid y) \propto p(\theta)p(y \mid \theta)p(θ∣y)∝p(θ)p(y∣θ) 往往是非归一化的，进一步加大了计算难度。 蒙特卡洛方法为解决这些问题提供了有效的途径。它的核

# 预测准确度 # 单点预测 当只预测一个单一值时，可以使用以下指标衡量模型的预测准确度： 均方误差（MSE, Mean Squared Error） mse=1n∑i=1n(yi−E⁡(yi∣θ))2mse = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\operatorname{E}(y_{i}|\theta))^{2} mse=n1​i=1∑n​(yi​−E(yi​∣θ))2 MSE 衡量预测值与真实值之间的平方差的均值，目标是最小化 MSE。 加权均方误差（WMSE, Weighted Mean

# 基本概念与方法 # 贝叶斯模型检查的核心问题 在贝叶斯分析中，模型检查旨在回答两个基本问题： 所使用的模型是否准确地描述了数据？ 后验推断对模型假设的敏感度如何？ 贝叶斯分析的一般流程包括：构建概率模型、计算参数的后验分布、评估模型对数据和先验知识的拟合程度，并据此改进模型。模型检查是这一流程中至关重要的一个环节。 # 敏感性分析 在实际科学问题中，可能存在多个合理的模型，它们都对数据有良好的拟合。这些模型可能在先验设定、抽样分布或包含的信息上存在显著差异。敏感性分析的核心在于评估，当使用不同的合理概率模型时，后验推断会发生多大变化。 一个理想化的模型检查方法是构建一个包含所有可能“真

# 层次模型概述 层次模型，或称分层模型，是一种贝叶斯统计模型，常用于处理具有分层结构的数据。它通过引入超参数来描述参数的先验分布，从而在不同组之间共享信息。 分析步骤： 定义模型结构： 似然： 确定数据 yyy 的分布 p(y∣θ,ϕ)p(y|\theta, \phi)p(y∣θ,ϕ)。通常，数据 yyy 属于不同的组，每组数据 yjy_jyj​ 依赖于各自的参数 θj\theta_jθj​。 参数分布： 定义各组参数 θj\theta_jθj​ 的先验分布 p(θ∣ϕ)p(\theta|\phi)p(θ∣ϕ)，该分布依赖于超参数 ϕ\phiϕ。这使得参数 θ\thetaθ 之间通过

# 联合分布采样 有多种方法可以从联合分布中进行采样，主要包括： ECDF (经验累积分布函数)： F^(x,y)=1m∑i=1mI(xi≤x,yi≤y)→F(x,y){\hat{F}}(x,y)={\frac{1}{m}}\sum_{i=1}^{m}I(x_{i}\leq x,y_{i}\leq y)\to F(x,y) F^(x,y)=m1​i=1∑m​I(xi​≤x,yi​≤y)→F(x,y) 当样本量 mmm 趋近于无穷时，经验累积分布函数 F^(x,y)\hat{F}(x,y)F^(x,y) 会收敛到真实的累积分布函数

# 常见概率分布 # 正态分布 一元正态分布 p(y∣μ,σ2)=12πσe−12σ2(y−μ)2p(y|\mu,\sigma^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(y-\mu)^{2}} p(y∣μ,σ2)=2π​σ1​e−2σ21​(y−μ)2 多元正态分布 p(y∣μ,Σ)∝∣Σ∣−1/2exp⁡(−12(y−μ)TΣ−1(y−μ))p(y|\mu,\Sigma)\propto|\Sigma|^{-1/2}\exp\left(-\frac{1}{2}(y

# 常见分布 二项分布 p(y∣θ)=Bin(y∣n,θ)=(ny)θy(1−θ)n−yp(y|\theta)=\mathrm{Bin}(y|n,\theta)={\binom{n}{y}}\theta^{y}(1-\theta)^{n-y} p(y∣θ)=Bin(y∣n,θ)=(yn​)θy(1−θ)n−y 正态分布（固定方差） p(y⃗∣θ)∝exp⁡(−12σ2∑i=1n(yi−θ)2)p(\vec{y}|\theta)\propto\exp\left({-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{

# 假设条件检查 进行因子 ANOVA 之前，需要对以下几个关键假设进行诊断： 独立性：这是最重要的假设，如果违反将严重影响结果。 方差齐性：即各组的方差相等。当进行成对比较（pairwise comparison）时，该假设的违反会产生较大影响。但如果数据是平衡的（各组样本量相等），则 ANOVA 对方差不齐的鲁棒性会增加。 正态性：即残差服从正态分布。该假设最不重要，因为许多 ANOVA 方法对非正态性是鲁棒的。值得注意的是，非正态性通常由异方差（heteroscedasticity）引起。 # 诊断方法 # 独立性诊断 时间序列独立性：通过分析时间序列数据来检查独立性。 正自相关

# 符号表示与模型假设 # 符号表示 YijkY_{ijk}Yijk​：在因子 A 的第 iii 个水平和因子 B 的第 jjj 个水平组成的单元格（cell）中，第 kkk 个观测值。 nijn_{ij}nij​：单元格 (i,j)(i, j)(i,j) 的样本量。 # 模型假设 双因子方差分析（ANOVA）模型通常基于以下假设： 独立同分布：所有观测值是独立的。 正态性：每个单元格内的观测值服从正态分布。 同方差性：所有单元格的总体方差是相等的，即 σ2\sigma^2σ2。 平衡设计：每个单元格的样本量相等，即 nij=nn_{ij} = nnij​=