真正的火羽白

# 算符与本征函数系 # 厄米算符的性质 定义与性质：厄米算符 F^\hat FF^ 满足以下关系式：∫ψ∗(F^ϕ)dτ=∫(F^ψ)∗ϕdτ\int \psi^* (\hat F \phi) d\tau = \int (\hat F \psi)^* \phi d \tau ∫ψ∗(F^ϕ)dτ=∫(F^ψ)∗ϕdτ 本征值：厄米算符的本征值是实数。 乘积：若两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米算符。 # 本征函数的正交性与归一化 正交性定理：同一个厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 正交归一表示： 离散谱：∫ϕk∗(r)ϕl(r)dτ&

# 经典力学中的哈密顿量 氢原子由带正电的原子核和带负电的电子组成。在经典力学中，其总哈密顿量可以表示为质心运动动能与质心系内电子、原子核动能以及它们之间的相互作用势能之和。 H=12MR2+12μr2+U(r)H = \frac12 M R^2 + \frac12 \mu r^2 + U(r) H=21​MR2+21​μr2+U(r) 其中，MMM 是原子核和电子的总质量，RRR 是质心位置；μ\muμ 是约化质量，rrr 是电子与原子核之间的相对位置。U(r)U(r)U(r) 是势能，通常表示为库仑势。 # 量子力学中的哈密顿量与波函数 在量子力学中，氢原子的

# 极坐标与球坐标下的数学工具 # 坐标系单位向量转换 球坐标系单位向量 (e^r,e^θ,e^ϕ)(\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\phi)(e^r​,e^θ​,e^ϕ​) 到直角坐标系单位向量 (i^,j^,k^)(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k})(i^,j^​,k^) 的转换：e^r=sin⁡θcos⁡ϕ i^+sin⁡θsin⁡ϕ j^+cos⁡θ k^e^θ=cos⁡θcos⁡ϕ i^+cos⁡θsin⁡ϕ j^−sin⁡θ k^e^ϕ=−sin⁡ϕ i^+cos⁡ϕ j^\begin{ali

# 基本概念与数学工具 # 常用数学公式 狄拉克δ\deltaδ函数相关积分： ∫eiaxdx=2πδ(a)∫eia⋅rdxdydz=(2π)3δ(a)\int e^{iax}dx = 2\pi\delta(a) \\ \int e^{ia \cdot r}dxdydz = (2\pi)^3\delta(a) ∫eiaxdx=2πδ(a)∫eia⋅rdxdydz=(2π)3δ(a) 高斯积分： ∫e−x2dx=π\int e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} ∫e−x2dx=π​ 黑

# 复变函数 (Complex Variables) # 基础概念与解析函数 几个初等复变函数 复变函数的导数：定义与相关条件 复变函数可导的定义。 柯西-黎曼（C-R）条件及其极坐标形式。 复变函数可导的充要条件及其证明。 解析函数与调和函数 解析函数的定义。 解析函数与调和函数的关系。 由实部计算解析函数虚部的方法。 支点的定义。 # 复变函数的积分 积分定义与柯西定理 复变函数积分的定义。 单连通区域的柯西定理及其证明。 复连通区域的柯西定理。 柯西积分公式及其应用 柯西积分公式、证明引理与证明。 无界区域的柯西积分公式及其证明。 柯西积分公式的导函数形式。 利

# 概述 # 随机方差模型的基本思想 传统的线性平稳过程，如基于沃尔德分解定理的模型 yt=μt+uty_t=\mu_t+u_tyt​=μt​+ut​，其中 ut=θ(B)εtu_t=\theta(B)\varepsilon_tut​=θ(B)εt​，其无条件方差和条件方差均为常数。然而，许多金融时间序列数据的波动性会随时间变化，传统的模型无法捕捉这种动态。 为了解决这一问题，随机方差模型应运而生： yt=μt(θ)+εty_t=\mu_t(\theta)+\varepsilon_tyt​=μt​(θ)+

# 概览与背景 在时间序列分析中，序列的记忆性通常通过其自相关函数（ACF）的衰减速度来衡量。 短记忆序列：对于 I(0)I(0)I(0) 序列，ACF 以指数（几何）速率衰减。这意味着远离当前时间的序列值与当前值近似独立。 长记忆序列：对于 I(1)I(1)I(1) 序列，ACF 衰减速度非常慢，以线性速率衰减，导致远离当前时间的序列值与当前值并非独立。 分数阶积分序列：I(d)I(d)I(d) 分数阶积分序列介于短记忆和长记忆之间。其 ACF 以多项式速率衰减，表明远离当前时间的序列值与当前值存在微弱但非零的相关性，这就是长记忆性的来源。 # 分数阶积分过程 # ARFIMA(0,d

# 频谱密度 # 频谱密度的定义与性质 频谱密度函数 f(λ)f(\lambda)f(λ)：对于一个平稳时间序列的自协方差函数 γh\gamma_hγh​，其频谱密度定义为： f(λ)=12π∑n=−∞∞γneinλ, λ∈[−π,π]f(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{in\lambda},~\lambda\in [-\pi,\pi] f(λ)=2π1​n=−∞∑∞​γn​einλ, λ∈[−π,π] 它描述了时间序列的方差（或总能量）在不同频

# 概述 传递函数模型是描述单输入单输出或多输入单输出系统动态关系的一种重要工具。其基本形式为： yt=ν(B)xt+nty_t = \nu(B)x_t + n_t yt​=ν(B)xt​+nt​ 其中： yty_tyt​ 是输出序列。 xtx_txt​ 是输入序列。 ν(B)=∑j=−∞∞νjBj\nu(B) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \nu_j B^jν(B)=∑j=−∞∞​νj​Bj 是传递函数。 ntn_tnt​ 是与 xtx_txt​ 独立的噪声序列。 当输入

# 虚假相关 (Spurious Correlation) 在分析时间序列数据时，我们常常需要检验两个时间序列 X={xt}X=\{x_t\}X={xt​} 和 Y={yt}Y=\{y_t\}Y={yt​} 之间的相关性。 # 交叉协方差和交叉相关函数 交叉协方差函数 (CCVF) γX,Y(t,s)\gamma_{X,Y}(t,s)γX,Y​(t,s): 衡量 xtx_txt​ 和 ysy_sys​ 之间的协方差，其定义为 γX,Y(t,s)=Cov(xt,ys)\gamma_{X,Y}(t,s)=Cov(x_