首页课程笔记电子工程系随机过程

# 概述

泊松过程是一种重要的随机过程，常用于描述在固定时间段内，独立事件以恒定平均速率发生的情况。

# 计数过程的定义与性质

计数过程 {N(t);t≥0}\{N(t); t \ge 0\} 是一个用于记录在时间段 [0,t][0, t] 内某类事件发生次数的随机过程。

性质:

  • 非负性与整数性: N(t)N(t) 是一个非负整数。
  • 单调性: 对任意 0≤s<t0 \le s < t，有 N(t)≥N(s)N(t) \ge N(s)。
  • 增量表示: N(t)−N(s)N(t) - N(s) 表示在时间段 (s,t](s, t] 内事件发生的次数。

泊松过程是一个满足以下条件的计数过程：

  • 初始条件: N(0)=0N(0) = 0。
  • 独立增量: 在不相交的时间区间内，事件发生的次数是相互独立的。
  • 平稳增量: 在相同长度的时间区间内，事件发生的次数的分布是相同的，与时间起点无关。
  • 稀疏性: 在极短的时间间隔 Δt\Delta t 内，事件发生的概率与 Δt\Delta t 成正比，且多于一次事件发生的概率可以忽略不计。
    • P(N(t+Δt)−N(t)=1)=λΔt+o(Δt)P(N(t+\Delta t) - N(t) = 1) = \lambda \Delta t + o(\Delta t)
    • P(N(t+Δt)−N(t)≥2)=o(Δt)P(N(t+\Delta t) - N(t) \ge 2) = o(\Delta t)
    • 其中 λ>0\lambda > 0 为强度参数，代表单位时间事件发生的平均次数。

# 泊松过程的概率分布与数字特征

# 概率分布

令 Pk(t)=P(N(t)=k)P_k(t) = P(N(t) = k)，则泊松过程的事件发生次数服从泊松分布：

Pk(t)=(λt)kk!e−λt,k=0,1,2,…P_k(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

# 母函数与特征函数

  • 母函数: gN(t)(s)=E(sN(t))=eλt(s−1)g_{N(t)}(s) = E(s^{N(t)}) = e^{\lambda t(s-1)}
  • 特征函数: φN(t)(w)=E(ejwN(t))=eλt(ejw−1)\varphi_{N(t)}(w) = E(e^{jwN(t)}) = e^{\lambda t(e^{jw}-1)}

# 数字特征

  • 期望: E(N(t))=λtE(N(t)) = \lambda t
  • 自相关函数: R(t1,t2)=E(N(t1)N(t2))=λmin⁡(t1,t2)+λ2t1t2R(t_1, t_2) = E(N(t_1)N(t_2)) = \lambda \min(t_1, t_2) + \lambda^2 t_1 t_2
  • 协方差函数: C(t1,t2)=λmin⁡(t1,t2)C(t_1, t_2) = \lambda \min(t_1, t_2)

# 泊松过程与二项分布

泊松过程可以看作是二项分布在特定条件下的极限形式。

二项分布过程可以描述为：将时间段 [0,t][0, t] 均匀分成 nn 个小区间，每个小区间发生事件的概率为 pp。那么在时间 tt 内发生 kk 次事件的概率为：

P(N(t)=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(N(t)=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

当 n→+∞n \to +\infty 且 p=λt/np = \lambda t/n 时，即每个小区间足够小且发生事件的概率与区间长度成正比时，二项分布将趋近于泊松分布：

lim⁡n→+∞Cnk(λtn)k(1−λtn)n−k=(λt)kk!e−λt\lim_{n \to +\infty} C_n^k \left(\frac{\lambda t}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-k} = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}

# 泊松过程的事件时间问题

# 等待时间与事件间隔

  • 等待时间: SnS_n 表示第 nn 个事件发生的时刻。
  • 事件间隔: Tn=Sn−Sn−1T_n = S_n - S_{n-1} 表示第 nn 个事件与第 n−1n-1 个事件之间的时间间隔。

# 事件间隔的分布

泊松过程中，相邻事件的间隔 TnT_n 服从参数为 λ\lambda 的指数分布：

fTn(t)=λe−λt,t≥0f_{T_n}(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0

其期望为 E(Tn)=1/λE(T_n) = 1/\lambda。

# 等待时间的分布

第 nn 个事件的等待时间 SnS_n 服从参数为 (n,λ)(n, \lambda) 的伽马分布：

fSn(t)=λntn−1(n−1)!e−λt,t≥0f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0

泊松过程的另一种判定方法: 如果一系列事件的发生间隔是相互独立的且都服从参数为 λ\lambda 的指数分布，则该事件序列构成一个参数为 λ\lambda 的泊松过程。

# 条件分布

在已知时间段 [0,t][0, t] 内发生了 nn 个事件的条件下，这 nn 个事件的发生时刻 S1,S2,…,SnS_1, S_2, \dots, S_n 的联合条件分布服从在 [0,t][0, t] 上的有序均匀分布：

fS1,S2,…,Sn(s1,s2,…,sn∣N(t)=n)=n!tn,0≤s1<s2<⋯<sn≤tf_{S_1, S_2, \dots, S_n}(s_1, s_2, \dots, s_n \mid N(t) = n) = \frac{n!}{t^n}, \quad 0 \le s_1 < s_2 < \dots < s_n \le t

若不考虑事件的先后顺序，这些事件的发生时刻 V1,V2,…,VnV_1, V_2, \dots, V_n 是相互独立的，且都服从在 [0,t][0, t] 上的均匀分布。其联合分布为：

fV1,V2,…,Vn(v1,v2,…,vn∣N(t)=n)=1tn,0≤vi≤t,i=1,2,…,nf_{V_1, V_2, \dots, V_n}(v_1, v_2, \dots, v_n \mid N(t) = n) = \frac{1}{t^n}, \quad 0 \le v_i \le t, i = 1, 2, \dots, n

# 泊松过程的推广形式

# 非齐次泊松过程

非齐次泊松过程的强度参数不是一个常数，而是随时间变化的函数 λ(t)\lambda(t)。

  • 强度函数: λ(t)>0\lambda(t) > 0
  • 平稳性: 不满足平稳增量过程，但仍满足独立增量过程。
  • 稀疏性: P(N(t+Δt)−N(t)=1)=λ(t)Δt+o(Δt)P(N(t+\Delta t) - N(t) = 1) = \lambda(t) \Delta t + o(\Delta t)

性质:

  • 均值: 在时间段 [t0,t0+t][t_0, t_0+t] 内，事件发生次数的期望为 E(N(t0+t)−N(t0))=∫t0t0+tλ(u)duE\left(N(t_0 + t) - N(t_0)\right) = \int_{t_0}^{t_0 + t} \lambda(u) du。
  • 方差: Var(N(t0+t)−N(t0))=∫t0t0+tλ(u)duVar\left(N(t_0 + t) - N(t_0)\right) = \int_{t_0}^{t_0 + t} \lambda(u) du。
  • 概率分布: 在 [t0,t0+t][t_0, t_0 + t] 内发生 nn 次事件的概率为：

    P(N(t0+t)−N(t0)=n)=[m(t0+t)−m(t0)]nn!e−[m(t0+t)−m(t0)]P(N(t_0 + t) - N(t_0) = n) = \frac{\left[m(t_0 + t) - m(t_0)\right]^n}{n!} e^{-\left[m(t_0 + t) - m(t_0)\right]}

    其中 m(t)=∫0tλ(u)dum(t) = \int_{0}^{t} \lambda(u) du 为均值函数。

# 复合泊松过程

复合泊松过程将泊松过程与一个独立的随机变量序列结合起来。它定义为 X(t)=∑n=1N(t)YnX(t) = \sum_{n=1}^{N(t)} Y_n，其中 {N(t)}\{N(t)\} 是泊松过程，{Yn;n≥1}\{Y_n; n \ge 1\} 是一组独立同分布的随机变量，且与 {N(t)}\{N(t)\} 相互独立。

特征函数:
设 ϕYn(w)\phi_{Y_n}(w) 是 YnY_n 的特征函数，则复合泊松过程的特征函数为：

E(ejwX(t))=exp⁡(λt(ϕYn(w)−1))E\left(e^{jwX(t)}\right) = \exp\left(\lambda t(\phi_{Y_n}(w)-1)\right)

# 随机参数泊松过程

随机参数泊松过程的强度参数 Λ\Lambda 不是一个常数，而是一个具有概率密度函数 f(λ)f(\lambda) 的非负随机变量。

性质:

  • 分布: 事件发生 nn 次的概率为：

    P(Y(t)=n)=∫0+∞(λt)nn!e−λtf(λ)dλP(Y(t) = n) = \int_{0}^{+\infty} \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} f(\lambda) d\lambda

  • 母函数:

    gY(t)(s)=∫0+∞eλt(s−1)f(λ)dλg_{Y(t)}(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{\lambda t(s-1)} f(\lambda) d\lambda

  • 平稳性与独立性: 该过程满足平稳增量，但不满足独立增量。

# 过滤的泊松过程

过滤的泊松过程描述的是在泊松过程中，每个事件都伴随一个贡献，然后对这些贡献在一段时间内进行累加。其形式为：

Y(t)=∑i=1N(t)h(t−Si,Ai)Y(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} h(t - S_i, A_i)

其中 SiS_i 是第 ii 个事件的发生时刻，AiA_i 是与该事件相关的随机变量。

  • 当 h(t−Si,Ai)=Aih(t-S_i, A_i) = A_i 时，退化为复合泊松过程。
  • 当 h(t−Si,Ai)=h(t−Si)h(t-S_i, A_i) = h(t-S_i) 时，其期望为 E(Y(t))=λt∫0t1th(t−v)dvE(Y(t)) = \lambda t\int_{0}^t\frac{1}{t} h(t-v)dv。
  • 当 h(t−Si,Ai)=Aih(t−Si)h(t-S_i, A_i) = A_i h(t-S_i) 且 AiA_i 与 hh 独立时，其期望为 E(Y(t))=E[Ai]λt∫0t1th(t−v)dvE(Y(t)) = E[A_i] \lambda t\int_{0}^t\frac{1}{t} h(t-v)dv。