2. 宽平稳过程的谱分析

# 确定性信号的频域分析

# 傅里叶级数展开与傅里叶变换

1. 狄利克雷(Dirichlet)条件：
   若周期为 $T$ 的确定性信号 $x(t)$ 满足以下条件，则可进行傅里叶级数展开：

   • 在一个周期内，间断点的数量是有限的。
   • 在一个周期内，极大值和极小值的数量是有限的。
   • 在一个周期内绝对可积，即 $\int_{0}^{T} |x(t)| dt < +\infty$。

2. 傅里叶级数：
   满足狄利克雷条件的周期信号 $x(t)$ 可表示为：

   $$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}$$

   其中，傅里叶系数 $c_n$ 为：

   $$c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$$

   且 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$，$t \in [0, T)$。

3. 傅里叶变换：
   若非周期信号 $x(t)$ 满足绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)| dt < +\infty$，则其傅里叶变换及其逆变换为：

   $$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$$

   $$x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df$$

# 帕塞瓦尔方程

帕塞瓦尔方程描述了信号在时域和频域能量的守恒关系：

• 周期信号：

  $$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2$$

• 非周期信号：

  $$\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 df$$

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# 宽平稳过程的谱分析

# 功率谱密度

1. 功率谱密度：
   宽平稳过程 $\{X(t)\}$ 的功率谱密度 $S_X(\Omega)$ 定义为其自相关函数 $R_X(\tau)$ 的傅里叶变换：

   $$S_X(\Omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau) e^{-j\Omega \tau} d\tau$$

2. 维纳-辛钦定理：
   对宽平稳过程 $\{X(t)\}$，若其自相关函数 $R_X(\tau)$ 绝对可积，则功率谱密度 $S_X(\Omega)$ 存在，且两者构成一对傅里叶变换对，即：

   $$R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\Omega) e^{j\Omega \tau} d\Omega$$

3. 功率谱密度的性质：

   • 非负性：$S_X(\Omega) \ge 0$，表示随机过程 $\{X(t)\}$ 在不同角频率上的平均功率。
   • 对称性：宽平稳实过程的自相关函数 $R_X(\tau)$ 和功率谱密度 $S_X(\Omega)$ 均为偶函数，即 $R_X(\tau) = R_X(-\tau)$，$S_X(\Omega) = S_X(-\Omega)$。
   • 周期性宽平稳过程：若 $R_X(\tau)$ 周期为 $T_0$，可展开为傅里叶级数 $R_X(\tau) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n e^{jn\omega_0 \tau}$，则其功率谱密度为离散的线谱：

     $$S_X(\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n \delta(\omega - n\omega_0)$$

     其中，傅里叶系数 $b_n$ 为该过程一次样本函数 $X(t)$ 的傅里叶级数系数 $c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$ 的期望平方，$b_n = E\left( |c_n|^2 \right)$。

4. 宽平稳序列的功率谱密度：
   离散时间宽平稳序列 $\{X(n)\}$ 的功率谱密度和自相关函数 $R_X(n)$ 构成离散时间傅里叶变换对：

   $$S_X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} R_X(n) e^{-j\omega n}$$

   $$R_X(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} S_X(\omega) e^{j\omega n} d\omega$$

# 常见的宽平稳过程模型与性质

1. 白噪声：
   白噪声是一个零均值宽平稳过程，其功率谱密度在所有频率上都为常数 $N_0$。因此，其自相关函数为冲激函数 $R_X(\tau) = N_0 \delta(\tau)$。这意味着，白噪声在任意不同的时刻 $t_1 \ne t_2$ 都不相关。白噪声的功率是无限大的，因此它是一个理想化的模型，但在实际应用中，如果随机过程在接收机频带范围内的功率谱密度是常数，通常可近似为白噪声。

2. 线谱过程模型：
   线谱过程可表示为 $X(t) = \sum_{k=1}^K X_k e^{j\omega_k t}$，其中 $K$ 是确定的正整数，且 $E(X_k) = 0, Var(X_k) = \sigma_k^2$，当 $i\ne j$ 时 $X_i, X_j$ 不相关。其自相关函数和功率谱密度为：

   $$R_X(\tau) = \sum_{k=1}^K \sigma_k^2 e^{j\omega_k \tau}$$

   $$S_X(\omega) = 2\pi \sum_{k=1}^K \sigma_k^2 \delta(\omega - \omega_k)$$

3. 有理谱密度模型：
   宽平稳过程 $\{X(t)\}$ 的功率谱密度可表示为两个多项式之比，即 $S_X(\omega) = \frac{a_0 + a_1\omega^2 + \cdots + a_n\omega^{2n}}{b_0 + b_1\omega^2 + \cdots + b_m\omega^{2m}}$。

4. 常见自相关函数与功率谱密度对照表：

自相关函数 $R_X(\tau)$	功率谱密度 $S_X(\omega)$
$e^{-\alpha\mid\tau\mid}, \alpha > 0$	$\frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$
$\delta(\tau)$	$1$
$\cos(\omega_0 \tau)$	$\pi \delta(\omega - \omega_0) + \pi \delta(\omega + \omega_0)$
$\sin(\omega_0 \tau)$	$-\pi j \delta(\omega - \omega_0) + \pi j \delta(\omega + \omega_0)$
$\frac{\sin(\omega_0 \tau)}{\omega_0 \tau}$	$\begin{cases} \frac{\pi}{\omega_0}, & \mid\omega\mid \le \omega_0 \\ 0, & \mid\omega\mid > \omega_0 \end{cases}$
$\begin{cases} 1 - \frac{2\mid\tau\mid}{T} & \mid\tau\mid \le \frac{T}{2} \\ 0 & \mid\tau\mid > \frac{T}{2} \end{cases}$	$\frac{8\sin^2(\omega T/4)}{\omega^2 T}$
$e^{-\alpha\mid\tau\mid}\cos(\omega_0 \tau), \alpha > 0$	$\frac{\alpha}{\alpha^2 + (\omega - \omega_0)^2} + \frac{\alpha}{\alpha^2 + (\omega + \omega_0)^2}$
$e^{-\alpha\tau^2}, \alpha > 0$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-\omega^2/4\alpha}$
$e^{-\alpha\tau^2}\cos \beta\tau, \alpha > 0$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left( e^{-(\omega - \beta)^2/4\alpha} + e^{-(\omega + \beta)^2/4\alpha} \right)$
$\frac{2\sin(\Delta \omega \tau / 2)}{\pi\tau}\cos(\omega_0\tau)$	$\begin{cases} 1, & \mid\omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2}\mid \le \mid\omega\mid \le \mid\omega_0 + \frac{\Delta \omega}{2}\mid \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

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# 宽平稳过程通过线性时不变(LTI)系统

当宽平稳过程 $\{X(t)\}$ 通过一个具有单位冲激响应 $h(\tau)$ 和频率响应 $H(\omega)$ 的LTI系统时：

• 输出过程 $\{Y(t)\}$ 也是宽平稳过程。
• 输出过程与输入过程是联合宽平稳的。
• 自相关函数关系：

  $$R_Y(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) * h^*(-\tau)$$

• 功率谱密度关系：

  $$S_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 S_X(\omega)$$

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# 互谱密度

1. 互谱密度：
   对联合宽平稳过程 $\{X(t)\}$ 和 $\{Y(t)\}$，其互相关函数 $R_{XY}(\tau)$ 的傅里叶变换被称为互谱密度：

   $$S_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_{XY}(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$$

2. 随机过程之和的功率谱密度：
   若 $\{Z(t)\} = \{X(t) + Y(t)\}$，且 $\{X(t)\}$ 与 $\{Y(t)\}$ 联合宽平稳，则 $S_Z(\omega)$ 为：

   $$S_Z(\omega) = S_X(\omega) + S_Y(\omega) + S_{XY}(\omega) + S_{YX}(\omega)$$

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# 宽平稳过程的采样定理

# 基带过程的采样定理

1. 确定性信号的采样定理：
   设确定性信号 $s(t)$ 的频谱带宽为 $|f| \le f_0$。当均匀采样频率 $f_s \ge 2f_0$ (奈奎斯特频率) 时，原信号可以无失真地由其采样值重建：

   $$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(nT_s) \frac{\sin\left( \frac{\pi}{T_s}(t-nT_s) \right)}{\frac{\pi}{T_s}(t-nT_s)}$$

2. 随机过程的采样定理：
   设随机过程 $\{X(t)\}$ 的功率谱密度带宽为 $|f| \le f_0$。当均匀采样频率 $f_s \ge 2f_0$ 时，原过程可被其采样值在均方意义下（m.s.）重建：

   $$X(t) \overset{m.s.}{=} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(nT_s) \frac{\sin\left( \frac{\pi}{T_s}(t-nT_s) \right)}{\frac{\pi}{T_s}(t-nT_s)}$$

   注意：当 $S_X(\omega)$ 的带宽为 $|f| \le f_0$ 且在 $\pm f_0$ 处存在冲激函数时，以 $f_s = 2f_0$ 采样得到的离散序列无法重建该随机信号。

# 通带过程的采样定理

1. 希尔伯特(Hilbert)变换：
   希尔伯特变换可由其频率响应 $H(\omega)$ 定义：

   $$H(\omega) = \begin{cases} -j, & \omega > 0 \\ 0, & \omega = 0 \\ j, & \omega < 0 \end{cases}$$

   对应的单位冲激响应为 $h(t) = \frac{1}{\pi t}$。希尔伯特变换的输出与输入具有相同的幅频特性，且若输入为实信号，输出也是实信号。

2. 带通实过程的复表示：
   对于一个通带实过程 $\{X(t)\}$，可以通过希尔伯特变换得到 $\hat X(t) = \{X(t)\} * h(t)$，并构造复随机过程 $Z(t) = X(t) + j\hat X(t)$。

   • 复过程的功率谱密度：$S_Z(f)$ 保留了 $\{X(t)\}$ 的全部信息，且单边非零：

     $$S_Z(f) = \begin{cases} 4S_X(f), & f > 0 \\ 0, & f \le 0 \end{cases}$$

   • 基带复过程：将 $Z(t)$ 频谱搬移到零频，得到基带复过程 $X_B(t) = Z(t) e^{j\omega_c t} = X_I(t) + jX_Q(t)$。
   • 基带同相/正交分量：基带过程的同相分量 $X_I(t)$ 和正交分量 $X_Q(t)$ 均为宽平稳实过程，它们的数字特征为：
     • 零均值：$E(X_I(t)) = E(X_Q(t)) = 0$。
     • 方差相同：$\{X(t)\}, \{X_I(t)\}, \{X_Q(t)\}$ 的方差相同。
     • 自相关函数：$R_{X_I}(\tau) = R_{X_Q}(\tau) = R_X(\tau)\cos(\omega_c \tau) + \hat R_X(\tau)\sin(\omega_c \tau)$。
     • 互相关函数：$R_{X_I X_Q}(\tau) = R_X(\tau)\sin(\omega_c \tau) - \hat R_X(\tau)\cos(\omega_c \tau)$。
     • 功率谱密度：$S_{X_I}(f) = S_{X_Q}(f) = S_X(f - f_c) + S_X(f + f_c)$。
   • 基带信号与带通信号的关系：

     $$\begin{bmatrix} X_I(t) \\ X_Q(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\omega_c t) & \sin(\omega_c t) \\ -\sin(\omega_c t) & \cos(\omega_c t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X(t) \\ \hat X(t) \end{bmatrix}$$

3. 通带过程的采样定理：
   设实数宽平稳过程 $\{X(t)\}$ 的功率谱密度带宽为 $|f \pm f_c| \le f_0$。当均匀采样频率 $f_s \ge 2f_0$ 时，原过程可在均方意义下由其采样值重建，重建公式为：

   $$X(t) \overset{m.s.}{=} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left[ X(nT_s) \cos(\omega_c(t-nT_s)) - \hat X(nT_s) \sin(\omega_c(t-nT_s)) \right] \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{T_s}(t-nT_s))}{\frac{\pi}{T_s}(t-nT_s)}$$

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# 补充：控制收敛定理与周期图谱估计

# 控制收敛定理

设非负函数 $f(x)$ 和函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在定义域 $x\in \Omega$ 上可积，若 $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$ 且 $|f_n(x)| \le f(x)$ 对所有 $n$ 成立，则：

$$\lim_{n \to +\infty} \int_{\Omega} f_n(x) dx = \int_{\Omega} f(x) dx$$

# 周期图谱估计方法

周期图谱估计是对零均值宽平稳序列 $\{X(t)\}$ 功率谱密度的估计方法，其定义为样本数据离散傅里叶变换的平方平均：

$$\hat{S}_N(\omega) = \frac{1}{N} \left| \sum_{n=0}^{N-1} X(n) e^{-j\omega n} \right|^2$$

$\hat{S}_N(\omega)$ 是 $S_X(\omega)$ 的渐近无偏估计，但其方差不随样本数据 $N$ 的增大而下降到0。