首页课程笔记电子工程系固体物理基础

# 简介

晶体中所有原子都在各自的平衡位置附近进行集体振动，这种振动可以被看作一系列独立的简谐振动。在量子力学中，这些简谐振动的能量是量子化的，每个能量量子被称为一个声子。本笔记将详细阐述晶格振动量子化的理论基础、声子的性质以及其在材料科学中的应用和实验测量方法。

# 谐振子的能量本征值和本征函数

线性谐振子是描述微观粒子运动的常用模型，也是量子力学中一个可精确求解的能量本征值问题。

# 能量本征方程

我们用薛定谔能量本征方程来求解一维谐振子的能量本征值和本征函数。将谐振子的平衡位置作为坐标原点，势能的零点也选在原点，则其势能可表示为：

F=−dV/dx=−βx, V(x)=12βx2F=-dV/dx=-\beta x,~V(x)=\frac{1}{2}\beta x^2

其中，FF 为恢复力，β\beta 为恢复力常数。令 w=β/mw=\sqrt{\beta/m} 为角频率，mm 为粒子质量，则一维谐振子的能量本征方程为：

[−ℏ22md2dx2+12mw2x2]ψ(x)=Eψ(x)\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}mw^2x^2\right]\psi(x)=E\psi(x)

# 幂级数解法

在坐标表象下，利用幂级数方法求解上述微分方程，可得到能量本征函数 ψn(x)\psi_n(x)：

<x∣ψn>=12nn!⋅(mwπℏ)1/4⋅exp⁡(−mwx22ℏ)⋅Hn(mwℏx)\left<x|\psi_n\right>=\sqrt{\frac{1}{2^nn!}}\cdot\left(\frac{mw}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\cdot\exp(-\frac{mwx^2}{2\hbar})\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}x\right)

其中，HnH_n 是厄米多项式，其表达式为：

Hn(x)=(−1)nex2dmdxne−x2H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^m}{dx^n}e^{-x^2}

# 谐振子的代数解法与声子的引入

# 阶梯算符方法

除了传统的微分方程解法，我们还可以用阶梯算符（代数解法）来求解谐振子问题。谐振子的哈密顿量算符 H^\hat{H} 为：

H^=p^22m+12mw2x^2[x^,p^]=iℏ\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2\hat{x}^2\\ [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar

我们可以定义降算符 a^\hat{a} 和升算符 a^+\hat{a}^+：

a^=mw2ℏ(x^+imwp^)a^+=mw2ℏ(x^−imwp^)\hat{a}=\sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}\left(\hat{x}+\frac{i}{mw}\hat{p}\right) \\ \hat{a}^+=\sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}\left(\hat{x}-\frac{i}{mw}\hat{p}\right)

利用这两个算符，哈密顿量可以改写为：

H^=(a^+a^+12)ℏw[a^,a^+]=1\hat{H}=\left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac12\right)\hbar w \\ [\hat{a},\hat{a}^+]=1

# 能量本征值

由于 a^+a^\hat{a}^+\hat{a} 与 H^\hat{H} 仅相差一个常数，它们有共同的本征态。任何右矢与其自身的内积都非负，因此我们有：

(a^∣∗⟩ψE, a^∣∗⟩ψE)≥0→⟨ψE|H^ℏw−12|ψE⟩≥0→E≥ℏw/2(\hat{a}\ket*{\psi_E},~\hat{a}\ket*{\psi_E})\ge0\to\left\langle\psi_E\middle|\frac{\hat{H}}{\hbar w}-\frac12\middle|\psi_E\right\rangle\ge0\\ \to E\ge\hbar w/2

这表明谐振子的能量存在最低值，即零点能 E0=ℏw/2E_0 = \hbar w/2。

阶梯算符可以改变本征态的能量：

H^a^+∣∗⟩ψE=(E+ℏw)a^+∣∗⟩ψEH^a^∣∗⟩ψE=(E−ℏw)a^∣∗⟩ψE \hat{H}\hat{a}^+\ket*{\psi_E}=(E+\hbar w)\hat{a}^+\ket*{\psi_E} \\ \hat{H}\hat{a}\ket*{\psi_E}=(E-\hbar w)\hat{a}\ket*{\psi_E} \

这意味着 a^+\hat{a}^+ 是一个将能量提升 ℏw\hbar w 的算符，而 a^\hat{a} 是一个将能量降低 ℏw\hbar w 的算符。

我们定义数态 ∣n⟩\ket{n}，利用产生算符 a^+\hat{a}^+ 和湮灭算符 a^\hat{a}，可以得到：

a^∣∗⟩n=n∣n−1⟩a^+∣n⟩=n+1∣n+1⟩\hat{a}\ket*{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}\\ \hat{a}^+\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}

最终，谐振子的能量本征值被量子化为：

En=(n+1/2)ℏw, n=0,1,2,⋯E_n=(n+1/2)\hbar w,~n=0,1,2,\cdots

这个结果可以理解为，谐振子的总能量由最低的零点能和 nn 个能量为 ℏw\hbar w 的“激发量子”构成。在晶格振动中，这种能量为 ℏw\hbar w 的量子被称为声子。

# 声子的概念与性质

声子是晶格振动的能量量子，与光子相似。光子是电磁波的能量量子，而声子是弹性格波的能量量子。

# 声子与光子的比较

电磁波可以看作光子流，同样，弹性声波也可以看作声子流。声子携带声波的能量和准动量。若格波频率为 ww，波矢为 qq，则声子的能量是 ℏw\hbar w，准动量为 ℏq\hbar q。

项目 光子 声子
粒子性 光电效应；康普顿效应 中子非弹性散射
能量 ℏω\hbar\omega ℏω\hbar\omega
动量(准动量) ℏk\hbar k (kk 是光子波矢) ℏq\hbar q (qq 是声子波矢)
波动性 频率、波矢 频率、波矢
玻色子/费米子 玻色子 玻色子
是否需要媒质 不一定 需要
频率是否存在限制 不存在(电磁波) 存在(色散关系)
波能量 正比于光子数 正比于声子数(存在零点能)

# 晶格振动能量与声子数

一个含有 NN 个原子的晶体有 3N3N 个独立的振动模式（格波）。在简谐近似下，每个格波都可以看作一个独立的谐振子。因此，晶体的总振动能量是 3N3N 个谐振子的能量之和：

E=∑h=13N(nh+12)ℏwhE=\sum_{h=1}^{3N}(n_h+\frac12)\hbar w_h

其中，nhn_h 是第 hh 个振动模式的声子数。

声子是一种玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计。对于能量为 ℏw\hbar w 的声子，其平均数 nˉ\bar{n} 为：

nˉ=1exp⁡(ℏw/kBT)−1\bar{n}=\frac{1}{\exp(\hbar w/k_BT)-1}

平均声子数的大小定量地表示一个格波被激发的程度。

  • 温度与声子数：在 T=0T=0 时，nˉ=0\bar{n}=0，没有任何声子产生，即没有任何格波被激发。随着温度升高，平均声子数增加。当温度很高时，格波的声子数目与温度近似成正比。
  • 频率与声子数：在同一温度下，光学波的频率通常比声学波高，因此光学波的平均声子数少于声学波。
  • 准粒子：需要注意的是，声子不是普通意义下的真实粒子，而是一种准粒子，它反映了晶体的集体运动状态。因此，ℏq\hbar q 是准动量，而非物理动量。

# 声子对材料性质的影响

声子在许多材料物理现象中扮演着关键角色：

  • 热传导：在非金属材料中，热量主要通过声子运动及其相互作用来传递。
  • 金属电阻：金属中的电阻随温度升高而增加，这是因为声子增多，对传导电子的散射增强，从而增大了电阻。
  • 超导现象：在某些超导材料中，声子与电子相互作用，可以使两个电子结合形成库珀对，从而产生超导现象。

# 晶格振动谱的实验测量

# 中子的非弹性散射

中子非弹性散射是测量晶格振动谱最直接和强大的方法。其基本原理是利用中子与格波非弹性散射过程中的能量和动量守恒。

  • 原理：当一束中子穿过晶体时，会与晶格振动（声子）发生相互作用。这种非弹性散射可以看作中子吸收或发射声子的过程。

  • 守恒定律：

    • 能量守恒：入射中子能量 EE 与出射中子能量 E′E^\prime 满足：

      p′22Mn−p22Mn=±ℏw(q)\frac{p^{\prime2}}{2M_n}-\frac{p^2}{2M_n}=\pm\hbar w(q)

      其中，p,p′p, p' 为入射和出射中子动量，MnM_n 为中子质量，正负号分别代表声子被湮灭或产生。
    • 准动量守恒：

      p′−p=±ℏq+ℏGnp^\prime-p=\pm\hbar q+\hbar G_n

      其中，qq 为声子波矢，GnG_n 为倒格矢。

  • 优势：

    • 能量匹配：声子能量（约几十 meV）与中子能量（约 0.02 ~ 0.04 eV）相当。
    • 动量匹配：中子的德布罗意波长（约 2 ~ 3 埃）与晶格常数相当，其波数接近声子准动量。能量和动量上的双重匹配使得中子衍射成为测量声子谱的理想工具。

  • 缺点：需要核反应堆作为中子源，建设和使用成本极高。

# 光学拉曼散射

光学拉曼散射是另一种测量晶格振动谱的常用方法，它基于光波与晶格振动的相互作用。

  • 原理：利用入射光子与声子的相互作用，测量散射光子的频率偏移来获取声子的信息。

  • 守恒定律：

    • 能量守恒：ℏw′−ℏw=±ℏws\hbar w^\prime - \hbar w = \pm\hbar w_s，其中 ℏw\hbar w 和 ℏw′\hbar w^\prime 分别是入射和出射光子能量，ℏws\hbar w_s 是声子能量。
    • 准动量守恒：ℏq′−ℏq=±ℏqs\hbar q^\prime - \hbar q = \pm\hbar q_s，其中 ℏq\hbar q 和 ℏq′\hbar q^\prime 分别是入射和出射光子动量，ℏqs\hbar q_s 是声子准动量。

  • 分类：

    • 布里渊散射：光子与声学波相互作用，频率移动很小。
    • 拉曼散射：光子与光学波相互作用，频率移动通常在 3×1010∼3×1013Hz3\times10^{10}\sim3\times10^{13} Hz 之间。

  • 频率移动：

    • 斯托克斯散射：散射光子频率小于入射光子频率。
    • 反斯托克斯散射：散射光子频率大于入射光子频率。

  • 缺点：由于光子的动量远小于声子的准动量，该方法通常只能测量长波声子（qq 很小，Gh=0G_h=0）。