首页课程笔记电子工程系固体物理基础

# 准经典运动的理论基础

# 准经典运动的条件

准经典运动模型主要在以下条件下适用：

  • 外部作用场：外加电场或磁场是恒定且足够弱的。
  • 电子状态：不考虑电子在不同能带间的跃迁。
  • 粒子相互作用：不考虑电子的衍射、干涉以及碰撞等量子效应。

# 准经典粒子

准经典粒子是一种近似概念，其动量和位置在满足测不准关系的范围内可以被近似地确定。

ΔrΔp≥ℏ2, ΔrΔk≥12\Delta r\Delta p\ge \frac{\hbar}{2},~\Delta r\Delta k\ge\frac{1}{2}

在晶体中，电子的运动状态由一个电子波包来描述，这个波包包含了动量和位置的近似值，其精确度受限于测不准原理。波包可以理解为：粒子在空间中分布于 r0r_0 附近的一个 Δr\Delta r 范围内，动量取值在 ℏk0\hbar k_0 附近的 ℏΔk\hbar\Delta k 范围内。

# 波包的构建与演化

在晶体中，组成波包的本征态是布洛赫函数。由于波包中包含能量不同的本征态，因此必须使用含时间的布洛赫函数来描述：

ψk′(r,t)=exp⁡(i[k⃗′⋅r⃗−E(k′)ℏt])uk′(r)\psi_{k^\prime}(r,t)=\exp\left(i\left[\vec{k}^\prime\cdot\vec{r}-\frac{E(k^\prime)}{\hbar}t \right] \right) u_{k^\prime}(r)

其中，k⃗′=k⃗0+Δk⃗\vec{k}^\prime = \vec{k}_0+\Delta\vec{k}。

将与 k0k_0 相邻的各 k′k^\prime 状态叠加，可以组成与量子态 k0k_0 对应的波包：

ψ(r,t)=∫−Δkx/2Δkx/2dkx∫−Δky/2Δky/2dky∫−Δkz/2Δkz/2dkzψk0+k(r,t)\psi(r,t)=\int_{-\Delta k_x/2}^{\Delta k_x/2}dk_x\int_{-\Delta k_y/2}^{\Delta k_y/2}dk_y\int_{-\Delta k_z/2}^{\Delta k_z/2}dk_z\psi_{k_0+k}(r,t)

为了得到稳定的波包，Δk\Delta k 必须非常小，因此可以进行以下近似：

E(k′)ℏt≈E(k0)ℏt+Δk⃗⋅∇kEℏt, uk′(r)≈uk0(r)\frac{E(k^\prime)}{\hbar}t \approx \frac{E(k_0)}{\hbar}t+\Delta\vec{k}\cdot\frac{\nabla_kE}{\hbar}t,~u_{k^\prime}(r) \approx u_{k_0}(r)

通过对波包函数进行整理，可以得到其概率密度：

∣ψ(r,t)∣2=∣uk0(r,t)∣2∣sin⁡(uΔkx/2)uΔkx/2∣2∣sin⁡(vΔky/2)vΔky/2∣2∣sin⁡(wΔkz/2)wΔkz/2∣2(Δkx)2(Δky)2(Δkz)2|\psi(r,t)|^2 = |u_{k_0}(r,t)|^2\left|\frac{\sin(u\Delta k_x/2)}{u\Delta k_x/2}\right|^2\left|\frac{\sin(v\Delta k_y/2)}{v\Delta k_y/2}\right|^2\left|\frac{\sin(w\Delta k_z/2)}{w\Delta k_z/2}\right|^2(\Delta k_x)^2(\Delta k_y)^2(\Delta k_z)^2

其中，

u=x−1ℏ(∂E∂kx)k0t, v=y−1ℏ(∂E∂ky)k0t, w=z−1ℏ(∂E∂kz)k0tu=x-\frac{1}{\hbar}\left(\frac{\partial E}{\partial k_x}\right)_{k_0}t,~v=y-\frac{1}{\hbar}\left(\frac{\partial E}{\partial k_y}\right)_{k_0}t,~w=z-\frac{1}{\hbar}\left(\frac{\partial E}{\partial k_z}\right)_{k_0}t

当波包的尺寸 2π/Δk2\pi/\Delta k 远大于晶体原胞时，电子可以被视为准经典粒子。

# 布洛赫电子的准经典运动特性

# 速度

  • 波包中心速度（群速度）：

v(k0)=dωdk0=1ℏ(∂E∂k)k0v(k_0)=\frac{d\omega}{dk_0}=\frac{1}{\hbar}\left(\frac{\partial E}{\partial k}\right)_{k_0}

  • 布洛赫电子的速度：

vk=1ℏ∇kE(k)v_k=\frac{1}{\hbar}\nabla_k E(k)

布洛赫电子的准经典运动速度等于波包的群速度，且完全取决于E−kE-k关系。

与自由电子的区别在于：

  • 方向：晶体电子的速度方向是kk空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面。
  • 等能面：由于晶体中等能面通常不是球面，速度方向一般与kk的方向不一致。只有在等能面为球面或某些特定方向上，速度才与kk方向相同。

# 动量与加速度

  • 晶体动量（准动量）：
    在外力 F⃗\vec{F} 作用下，晶体电子的能量变化 dE=F⃗⋅v⃗kdtdE = \vec{F}\cdot \vec{v}_k dt。结合dE=∇kE(k)dkdE = \nabla_kE(k)dk，可以推导出动量定理：

ℏdk⃗dt=F⃗\hbar \frac{d\vec{k}}{dt}=\vec{F}

ℏk⃗\hbar\vec{k} 具有类似于动量的性质，但它不是电子的普通动量，而是被称为晶体动量或准动量。它包含了外力作用和晶格作用的综合结果，而自由电子的动量变化仅由外力引起。

  • 有效质量：
    考虑加速度，可以得到：

dvαdt=1ℏ2∑βFβ∂2∂kβ∂kαE(k)\frac{dv_\alpha}{dt}=\frac{1}{\hbar^2}\sum_\beta F_\beta\frac{\partial^2}{\partial k_\beta\partial k_\alpha}E(k)

通过类比牛顿第二定律 F⃗=ma⃗\vec{F}=m\vec{a}，引入有效质量的概念：

1mαβ∗=1ℏ2∂2E∂kα∂kβ\frac{1}{m^*_{\alpha\beta}}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2E}{\partial k_\alpha\partial k_\beta}

有效质量是一个 3×33\times3 的张量。当选择 kx,ky,kzk_x, k_y, k_z 作为主轴方向时，有效质量张量可以对角化。

# 有效质量的特点

  • 张量特性：与作为标量的普通质量不同，有效质量是一个张量，这意味着加速度的方向可能与外力方向不一致。
  • 可变性：有效质量的值是变化的，并且可以为正或负。
    • 在能带底部附近，E(k)E(k) 曲线向上弯曲，有效质量为正 (m∗>0m^* > 0)，电子从外场获得动量，加速度为正。
    • 在能带顶部附近，E(k)E(k) 曲线向下弯曲，有效质量为负 (m∗<0m^* < 0)，电子从外场获得的动量不足以弥补与晶格的碰撞，加速度为负。
  • 物理本质：有效质量反映了电子在晶体中运动时，晶格对其运动产生的综合影响。

# 准经典运动实例

在恒定电场作用下，根据动量定理，电子在kk空间中将以恒定速度移动。当kk达到布里渊区边界(±π/a\pm\pi/a)时，会发生突变，从 π/a\pi/a 跃迁到 −π/a-\pi/a，从而形成在kk空间中的周期性运动。由此，可以定性分析电子速度和加速度的变化。

# 导体、绝缘体与半导体的能带理论

# 满带不导电原理

  • 总电流：所有电子对电流的贡献总和为 J=1V(−e)∑kv(k)J=\frac{1}{V}(-e)\sum_kv(k)。
  • 无外场：在一定温度下，能带中的电子态是关于 k=0k=0 对称分布的，即 E(k)=E(−k)E(k)=E(-k)，因此 v(−k)=−v(k)v(-k)=-v(k)。电子流成对抵消，总电流为零。
  • 有外场：外场会使所有电子在kk空间中以相同的速度移动，但满带的对称性依然保持，导致总电流仍然为零。
  • 结论：只有部分填充的能带（导带）中的电子才能在外场下产生净电流。

# 材料的能带分类

  • 非导体：电子恰好填满最低的一系列能带，更高能级的能带完全空着。
  • 绝缘体：价带和导带之间的带隙 EgE_g 很大，常温下电子无法跃迁到导带，价带保持全满状态。
  • 半导体：价带和导带之间的带隙 EgE_g 较小（通常 Eg<2E_g < 2 eV）。在常温下，价带中会有少量电子跃迁到导带，使导带部分填充，价带出现空穴。
  • 导体：能带是部分填充的，被称为导带。例如，锂原子中的 2s2s 能带为半满，镁原子中的 3s3s 和 3p3p 能带重叠，形成部分填充的复合能带。

# 半导体的能带模型与载流子

在半导体中，价带的电子空缺被称为空穴。导带中的少量电子和价带中的空穴统称为载流子。

  • 空穴：
    • 波矢：kh=−kek_h = -k_e
    • 有效质量：mh∗=−me∗m_h^* = -m_e^*。在能带顶部，电子的有效质量为负，因此空穴的有效质量为正。
    • 运动：空穴在外场下的运动规律与电子相反，其速度与kk的方向也相反。

# 实际情况下的电子运动

在实际晶体中，电子的准经典振荡运动很难被观察到，主要有以下原因：

  • 散射：在金属中，电子会受到声子、杂质和缺陷的散射，平均自由程极短（约 10−310^{-3} Å），在完成一个振荡周期前就被散射了。
  • 电场强度：要观察到宏观振荡需要极强的电场（E>105E > 10^5 V/cm），但此时绝缘体通常已被击穿。因此，在一般情况下，电子在 kk 空间中只有很小的位移。

此外，根据量子理论，电子在能带中的运动也存在隧穿效应，电子有一定几率穿过带隙势垒，这种几率取决于带隙的高度 EgE_g 和电场强度 EE。