首页课程笔记电子工程系固体物理基础

# 历史回顾

在固体物理学的发展历程中，对金属性质的理解经历了从经典到量子的转变：

  • 费米和狄拉克基于泡利不相容原理，提出了适用于电子气体的费米-狄拉克统计，为后续的量子理论奠定了基础。
  • 布洛赫提出了固体电子能带理论，这是量子固体电子理论的核心，他也被誉为“固体物理之父”。
  • 在元素周期表中，三分之二的元素都属于金属，这使得研究金属的物理性质具有重要意义。

# 德鲁德经典电子理论

# 核心思想与基本假设

德鲁德模型将金属视作由带正电的离子实和可自由移动的价电子（又称自由电子）组成。他将金属的电学和热学性质归因于这些自由电子的运动。

该模型基于以下关键假设：

  • 金属结构：孤立原子的满壳层电子（芯电子）仍被原子核束缚，它们与原子核共同构成正电的离子实。而最外层的价电子可以脱离原子，在整个金属内部自由移动。
  • 独立自由电子近似：这是德鲁德模型的基础。它假设：
    • 电子之间以及电子与离子实之间的相互作用可以忽略不计。
    • 在没有外场时，每个电子都做匀速直线运动。
    • 在外场作用下，电子的运动遵循牛顿第二定律。
    • 每个电子的总能量等于其动能。
  • 碰撞机制：德鲁德模型将电子与周围环境的热平衡归因于瞬时碰撞。
    • 他假设电子与离子实的碰撞会使电子的速度方向完全随机化，碰撞前后的速度互不相关。
    • 弛豫时间 τ\tau 被引入，它表示电子两次碰撞之间的平均自由时间。在德鲁德模型中，τ\tau 被认为是与电子的位置和速度无关的常数。

# 直流电导与电流密度方程

德鲁德模型成功地从微观角度解释了欧姆定律。

  1. 宏观欧姆定律：J=σE,E=ρJJ = \sigma E, \quad E = \rho J其中，JJ 是电流密度，σ\sigma 是电导率，EE 是电场强度，ρ\rho 是电阻率。
  2. 微观电流密度：电流密度由电子的平均速度 vAv_A 决定：J=−nevAJ = -nev_A其中，nn 是电子浓度，ee 是电子电荷。
  3. 电子运动方程：在电场 EE 和碰撞阻尼的双重作用下，电子的平均动量 p⃗A\vec{p}_A 随时间的变化可表示为：dp⃗Adt=−eE⃗−p⃗Aτ\frac{d\vec{p}_A}{dt} = -e\vec{E} - \frac{\vec{p}_A}{\tau}这个方程的稳态解为 p⃗A=−eE⃗τ\vec{p}_A = -e\vec{E}\tau，进而得到平均速度：vA=−eEτmev_A = -\frac{eE\tau}{m_e}
  4. 电流密度与电场的关系：将 vAv_A 代入电流密度方程，得到：J=(ne2τm)EJ = \left(\frac{ne^2\tau}{m}\right)E这与宏观欧姆定律 J=σEJ=\sigma E 形式一致，并给出了电导率 σ\sigma 的微观表达式 σ=ne2τm\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}。

# 德鲁德模型的局限性与成功之处

德鲁德模型通过弛豫时间的概念，成功解释了直流和交流电传导、霍尔效应以及热传导等现象，因此取得了相当大的成功。然而，它也存在一些严重缺陷：

  • 玻尔兹曼分布：德鲁德模型假设电子遵循经典的玻尔兹曼统计，这导致了与实验结果的显著偏差。
  • 比热容：模型预测的电子比热容 cv=32nkBc_v = \frac{3}{2}nk_B 大大高于实验值。
  • 平均自由程：根据模型计算出的电子平均自由程 l=vAτl = v_A\tau 约为 1−10A˚1-10Å，远小于实际测得的 103A˚10^3Å。

# 索末菲自由电子模型

# 核心思想与基本假设

索末菲模型在德鲁德模型的基础上引入了量子力学和费米-狄拉克统计，弥补了经典理论的不足。它保留了德鲁德模型的独立电子近似和自由电子近似，但用量子统计取代了经典的玻尔兹曼统计。

  • 量子统计：索末菲模型认为，金属中的自由电子是一个费米气体（或称简并电子气），其行为遵循费米-狄拉克分布：f(E)=1e(E−EF)/kBT+1f(E) = \frac{1}{e^{(E-E_F)/k_BT}+1}该分布描述了在热平衡状态下，一个能量为 EE 的量子态被电子占据的概率。

# 费米-狄拉克统计

  • 费米子：包括电子、质子、中子等，自旋为半整数，遵循泡利不相容原理，即一个量子态最多只能被一个费米子占据。
  • 费米能级 EFE_F：在绝对零度（0K）下，所有电子都将占据能量最低的量子态，一直到某个特定能量值 EFE_F 为止。这个能量值就是费米能级。
  • 费米球与费米面：在波矢空间（kk 空间）中，绝对零度下所有被电子占据的态形成一个球体，称为费米球，其表面就是费米面。费米能级由电子浓度 n=N/Vn = N/V 决定：EF0=ℏ22m(3π2n)2/3E_F^0 = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}

# 宏观物理量计算

索末菲模型利用态密度函数 g(E)g(E) 来计算宏观物理量。

  • 态密度：g(E)dEg(E)dE 表示能量在 [E,E+dE][E, E+dE] 区间的量子态数目。在三维自由电子模型中（考虑自旋），g(E)=V2π2(2mℏ2)3/2E1/2g(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}E^{1/2}
  • 内能和比热容：索末菲模型通过索末菲展开来计算高于绝对零度时的内能 UU 和比热容 cvc_v。
    • 内能：U=35NEF0+π26g(EF0)(kBT)2U = \frac{3}{5}N E_F^0 + \frac{\pi^2}{6}g(E_F^0)(k_BT)^2
    • 比热容：cv=dUdT=Nπ22(kBTEF0)kBc_v = \frac{dU}{dT} = N\frac{\pi^2}{2}\left(\frac{k_BT}{E_F^0}\right)k_B这个结果与经典德鲁德模型预测的 32NkB\frac{3}{2}Nk_B 相比，要小得多，与实验结果更接近。

# 索末菲模型的评价

索末菲模型通过引入量子统计，成功地修正了德鲁德模型在比热容上的重大缺陷，并能够解释更多物理量的变化趋势。然而，它仍然是自由电子模型，没有考虑金属中的周期性势场。因此，它不能解释电子的长平均自由程、电阻随温度的变化以及半导体等现象。这些问题的解决需要更进一步的能带理论。

# 补充概念

# 波恩-卡门边界条件

为了简化对宏观晶体的研究，同时忽略边界效应，物理学家引入了波恩-卡门周期性边界条件。它将晶体看作是一个首尾相连的环状结构。

  • 一维情况：对于长度为 LL 的一维链，波函数满足 ψ(x)=ψ(x+L)\psi(x) = \psi(x+L)，这导致波矢 kk 离散化：k=2πnL,n∈Zk = \frac{2\pi n}{L}, \quad n \in \mathbb{Z}
  • 三维情况：对于体积为 V=LxLyLzV=L_xL_yL_z 的晶体，波矢空间中的每一个量子态占据的体积为 (2π)3V\frac{(2\pi)^3}{V}。

# 能带理论的引入

虽然索末菲模型取得了进步，但它仍然基于自由电子的假设。电子在实际晶体中会受到周期性势场的作用。能带理论通过引入布洛赫定理，考虑了周期性势场对电子运动的影响，从而更准确地描述了金属中的电子行为。

# 为什么用 E−pE-p 关系描述运动

在量子力学中，能量 EE 与波矢 kk 之间的关系 E(k)E(k) 是描述粒子运动的关键。对于自由电子，能量和动量（p=ℏkp=\hbar k）的关系与经典力学一致。在周期性结构中，用波矢空间来讨论周期性结构和电子的运动模式会更为方便。