2. 电磁波纲要

# 时谐电磁场基础

# 时谐场的表示

# 瞬时值、相量（复振幅）与傅里叶变换

• 瞬时值: 场量随时间变化的真实值，例如 $E(t)$。
• 复指数形式与相量（复振幅）: 对于余弦变化的时谐场 $A(t) = A_0 \cos(\omega t + \phi)$，可以表示为复指数形式的实部 $A(t) = \text{Re}[A_0 e^{j\phi} e^{j\omega t}]$。其中，$\vec{A}_s = A_0 e^{j\phi}$ 称为相量或复振幅，它包含了振幅和相位信息。
• 傅里叶变换:
  • 正变换 (时域 → 频域): $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
  • 逆变换 (频域 → 时域): $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$

# 时域与频域本构关系

描述介质宏观电磁性质的辅助关系。

• 电位移矢量 $\vec{D}$ 与电场强度 $\vec{E}$ 的关系:
  • 时域关系: 对于线性、各向同性介质，$\vec{D}(t) = \varepsilon_0 \vec{E}(t) + \vec{P}(t)$。在简单介质中，若响应无延迟，则为 $\vec{D}(t) = \varepsilon \vec{E}(t)$。
  • 频域关系: $\vec{D}(\omega) = \varepsilon(\omega) \vec{E}(\omega)$。
  • 频域介电常数与时域的关系: 频域中的乘积关系对应时域中的卷积关系。
• 磁感应强度 $\vec{B}$ 与磁场强度 $\vec{H}$ 的关系:
  • 时域关系: 对于线性、各向同性介质，$\vec{H}(t) = \frac{1}{\mu_0} \vec{B}(t) - \vec{M}(t)$。在简单介质中，$\vec{B}(t) = \mu \vec{H}(t)$。(注意：对于复杂介质，此关系可能涉及时间积分)
  • 频域关系: $\vec{B}(\omega) = \mu(\omega) \vec{H}(\omega)$。
• 对介质的要求: 上述频域关系通常要求介质是线性、各向同性、非色散（或在考虑的频段内色散可忽略）的。

# 麦克斯韦方程组

• 真空中的麦克斯韦方程组:
  • 时域形式:

    $$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \cdot \vec{B} = 0$$

    $$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

  • 频域形式:

    $$\nabla \cdot \vec{E}_s = \frac{\rho_s}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \cdot \vec{B}_s = 0$$

    $$\nabla \times \vec{E}_s = -j\omega \vec{B}_s, \quad \nabla \times \vec{B}_s = \mu_0 \vec{J}_s + j\omega \mu_0 \varepsilon_0 \vec{E}_s$$

• 介质中的麦克斯韦方程组:
  • 时域形式:

    $$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f, \quad \nabla \cdot \vec{B} = 0$$

    $$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

  • 频域形式: (注意 $j\omega$ 的正负号取决于变换定义)

    $$\nabla \cdot \vec{D}_s = \rho_{fs}, \quad \nabla \cdot \vec{B}_s = 0$$

    $$\nabla \times \vec{E}_s = -j\omega \vec{B}_s, \quad \nabla \times \vec{H}_s = \vec{J}_{fs} + j\omega \vec{D}_s$$

# 边值关系

描述电磁场在不同介质分界面上的衔接关系。

• 真空中的边值关系:
  • 时域: $\hat{n} \cdot (\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = \sigma_f$, $\hat{n} \cdot (\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0$
  • 时域: $\hat{n} \times (\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = 0$, $\hat{n} \times (\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{K}_f$
  • 频域: 将时域关系中的场量替换为对应的相量即可。
• 介质中的边值关系: 形式同上，但本构关系 $\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$ 和 $\vec{B}=\mu\vec{H}$ 中的材料参数 $\varepsilon, \mu$ 在不同介质中取不同值。

# 电磁能量与坡印廷定理

• 瞬时形式:
  • 电场储能密度: $w_e = \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D}$
  • 磁场储能密度: $w_m = \frac{1}{2} \vec{H} \cdot \vec{B}$
  • 坡印廷矢量 (能流密度): $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$
  • 坡印廷定理 (微分形式): $-\nabla \cdot \vec{S} = \frac{\partial}{\partial t}(w_e + w_m) + \vec{J} \cdot \vec{E}$
• 时谐场的复数形式与时间平均值:
  • 复数电场储能: $W_e = \frac{1}{4} \vec{E}_s \cdot \vec{D}_s^*$
  • 复数磁场储能: $W_m = \frac{1}{4} \vec{H}_s \cdot \vec{B}_s^*$ (注意系数 1/4)
  • 复数坡印廷矢量: $\vec{S}_c = \frac{1}{2} \vec{E}_s \times \vec{H}_s^*$
  • 复数坡印廷定理: $-\nabla \cdot \vec{S}_c = 2j\omega (W_m - W_e) + \frac{1}{2} \vec{J}_s \cdot \vec{E}_s^*$
  • 时间平均值与复数值的关系:
    • 平均能流密度: $\langle \vec{S}(t) \rangle = \text{Re}[\vec{S}_c] = \frac{1}{2} \text{Re}[\vec{E}_s \times \vec{H}_s^*]$
    • 平均能量密度: $\langle w \rangle = \langle w_e + w_m \rangle = \frac{1}{4} \text{Re}[\vec{E}_s \cdot \vec{D}_s^* + \vec{H}_s \cdot \vec{B}_s^*]$

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# 均匀平面电磁波

# 亥姆霍兹方程 (Helmholtz Equation)

在无源 ($\rho=0, J=0$)、线性的均匀介质中，由频域麦克斯韦方程组可以推导出亥姆霍兹方程（波动方程）：

$$\nabla^2 \vec{E}_s + k^2 \vec{E}_s = 0$$

$$\nabla^2 \vec{H}_s + k^2 \vec{H}_s = 0$$

其中 $k^2 = \omega^2 \mu \varepsilon$。

# 均匀平面波的定义与性质

均匀平面波是指电场和磁场矢量在与其传播方向垂直的平面内处处相等、方向相同的横电磁波。

• 数学表达式: $\vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - kz + \phi)$ 或 $\vec{E}_s(z) = \vec{E}_0 e^{-jkz}$
• 波矢量 (空间角频率) $\vec{k}$: 方向指向波的传播方向，大小 $k = \omega \sqrt{\mu \varepsilon} = 2\pi/\lambda$。
• 相速度 $v_p$: 波的等相位面移动的速度，$v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$。
• 波长 $\lambda$: $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{v_p}{f}$。
• (相)折射率 $n$: $n = \frac{c}{v_p} = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_0\varepsilon_0}} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}$。
• 波阻抗 $\eta$: 横向电场与磁场振幅之比，$\eta = \frac{E_0}{H_0} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$。

# 场量关系

• $\vec{E}$、$\vec{H}$、$\vec{k}$ 的相互关系: 三者构成右手螺旋关系，且相互垂直。

  $$\vec{H}_s = \frac{1}{\eta} (\hat{k} \times \vec{E}_s), \quad \vec{E}_s = -\eta (\hat{k} \times \vec{H}_s)$$

# 能量与功率

• 平均电磁场储能密度: 对于均匀平面波，电场能量密度和磁场能量密度的平均值相等，$\langle w_e \rangle = \langle w_m \rangle$。

  $$\langle w \rangle = \langle w_e \rangle + \langle w_m \rangle = \frac{1}{2}\varepsilon |\vec{E}_s|^2$$

• 平均能流密度:

  $$\langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}[\vec{E}_s \times \vec{H}_s^*] = \frac{1}{2\eta} |\vec{E}_s|^2 \hat{k} = \langle w \rangle v_p \hat{k}$$

# 波的极化

• 圆偏振方向的判断:
  • 在空间某固定点，若电场矢量随时间以角频率 $\omega$ 旋转，则为圆偏振波。
  • 观察波的传播方向，若电场矢量顺时针旋转，为右旋圆偏振；逆时针旋转，为左旋圆偏振。

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# 电磁波在介质界面的反射与折射

# 基本概念

• 入射波、反射波与折射波 (透射波): 描述波在界面处的三个分量。
• TE 波 (N 波/s-波) 与 TM 波 (P 波/p-波):
  • TE (Transverse Electric): 电场矢量垂直于入射面。
  • TM (Transverse Magnetic): 磁场矢量垂直于入射面。

# 反射定律与斯涅尔定律 (Snell's Law)

通过在分界面上应用边值关系推导得出：

1. 反射定律: 反射角等于入射角，$\theta_i = \theta_r$。
2. 斯涅尔定律: $n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t$。
3. 入射波、反射波和折射波的波矢量位于同一平面（入射面）内。

# 菲涅尔公式 (Fresnel's Equations)

基于边值关系推导，给出反射波和折射波的振幅相对于入射波振幅的表达式（反射系数 $r$ 和折射系数 $t$）。

# 反射与折射现象分析

• 半波损失: 当光从光疏介质入射到光密介质，发生外反射时，TE 波和 TM 波的反射光相位会跳变 $\pi$。
• 布鲁斯特角 (起偏角): 对于 P 波（TM 波），存在一个特殊的入射角 $\theta_B$，使得反射系数为零，此时反射光为纯粹的 S 波（TE 波）。$\tan\theta_B = n_2/n_1$。
• 全反射与临界角: 当光从光密介质 ($n_1 > n_2$) 入射到光疏介质时，若入射角大于临界角 $\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$，则无折射波进入第二介质，发生全内反射。
  • 隐失波与穿透深度: 全反射时，在第二介质表面附近仍存在一个沿界面传播、振幅随深入第二介质的距离指数衰减的电磁场，称为隐失波。其能量不被带走。振幅下降到 $1/e$ 的距离称为穿透深度。
• 快波与慢波: 波的相速度大于或小于真空光速 $c$。

# 功率关系

• 界面法向平均能流: $S_{\perp} = \vec{S} \cdot \hat{n}$。
• 功率反射率 $R$ 与折射率 $T$:
  • 反射率 $R$: 反射波功率与入射波功率之比，$R = |r|^2$。
  • 折射率 $T$: 折射波功率与入射波功率之比，$T = \frac{\eta_1 \cos\theta_t}{\eta_2 \cos\theta_i} |t|^2$。(注意角标与角度因子)
  • 能量守恒: $R + T = 1$。

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# 电磁波在导电介质中的传播

# 导电介质中的电荷弛豫

• 电荷变化: 导体内任意初始的自由电荷体密度将随时间按指数规律衰减。
• 特征时间 (弛豫时间): $\tau = \varepsilon/\sigma$，表示电荷密度衰减到初始值 $1/e$ 所需的时间。

# 良导体 (Good Conductor)

• 判定条件: 传导电流远大于位移电流，即 $\sigma \gg \omega\varepsilon$。
• 良导体中的频域麦克斯韦方程组:
  • 复介电常数: $\varepsilon_c = \varepsilon - j\frac{\sigma}{\omega}$。
• 良导体中的均匀平面波:
  • 复波矢: $k_c = \omega\sqrt{\mu\varepsilon_c} \approx (1-j)\sqrt{\omega\mu\sigma/2} = \alpha - j\beta$。
  • 趋肤效应与趋肤深度 (透射深度): 电磁波进入良导体后振幅迅速衰减，能量集中在导体表面薄层内。振幅衰减为表面处 $1/e$ 的深度称为趋肤深度 $\delta = 1/\beta \approx \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$。

# 在良导体界面的垂直入射

• 透射波的电场与磁场关系: 电场与磁场之间存在 $\pi/4$ 的相位差。(注意系数包含复数)
• 良导体中的电场能量与磁场能量之比: 磁场储能远大于电场储能。
• 反射率: 良导体对电磁波有很高的反射率，$R \approx 1$。

# 导体的焦耳热损耗

• 单位体积焦耳热功率: $\langle p_J \rangle = \frac{1}{2}\sigma |\vec{E}_s|^2$。
• 单位面积焦耳热功率: 将体功率对深度积分得到。
• 表面电流与表面电阻:
  • 总表面电流: $K_s = \int_0^\infty J_s(z) dz$。
  • 焦耳热与表面电流的关系: 单位面积热功率 $\langle P_J \rangle = \frac{1}{2} R_s |K_s|^2$。
  • 表面电阻: $R_s = 1/(\sigma\delta)$。

# 斜入射问题

• 透射波矢方向: 在良导体中，透射波的传播方向一般不垂直于界面。

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# 波导与谐振腔

# 理想导体 (Perfect Conductor)

• 判定条件: $\sigma \to \infty$。
• 理想导体边值关系:
  • 导体内部电磁场为零。
  • 导体表面电场切向分量为零: $\hat{n} \times \vec{E} = 0$。
  • 导体表面磁场法向分量为零: $\hat{n} \cdot \vec{B} = 0$。
  • $\hat{n} \times \vec{H} = \vec{K}_s$, $\hat{n} \cdot \vec{D} = \sigma_s$。
• 入射特点: 电磁波在理想导体表面发生全反射。

# 波导模式 (Waveguide Modes)

• 纵横分解法: 将场沿传播方向（纵向 $z$）和垂直于传播方向（横向 $t$）进行分解。
• TE、TM、TEM 模式:
  • TE (横电) 模式: $E_z = 0$。
  • TM (横磁) 模式: $H_z = 0$。
  • TEM (横电磁) 模式: $E_z = 0$ 且 $H_z = 0$。
• TEM 模式的存在条件: 波导的横截面必须由两个或以上相互分离的导体构成（例如同轴线）。单导体构成的中空波导不支持 TEM 模式。

# 矩形波导

• 分离变量法求解: 求解亥姆霍兹方程以获得场分布。
• 截止波矢与截止频率:
  • 只有当工作频率 $\omega$ 高于某一特定频率（截止频率 $\omega_c$）时，对应的模式才能在波导中传播。低于此频率则会指数衰减。
  • 基模: 具有最低非零截止频率的模式。
• 波导中的传播特性:
  • 相速度: $v_p = \omega/k_z > c$。
  • 群速度: $v_g = d\omega/dk_z < c$。满足 $v_p v_g = c^2$（对于真空填充波导）。

# 谐振腔 (Resonant Cavities)

由导体壁包围的空腔，电磁场可在其中形成驻波，在特定频率（谐振频率）上发生谐振。

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# 电磁波的辐射

# 电磁势

• 标势 $\Phi$ 与矢势 $\vec{A}$: 引入势是为了简化求解。
  • $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$
  • $\vec{E} = -\nabla \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$
• 规范变换 (Gauge Transformations):
  • 库伦规范: $\nabla \cdot \vec{A} = 0$。
  • 洛伦兹规范: $\nabla \cdot \vec{A} + \mu\varepsilon \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0$。(注意 $\mu\varepsilon$ 的系数)
• 非齐次波动方程 (达朗贝尔方程): 在洛伦兹规范下，电磁势满足的方程。(注意拉普拉斯算子和时间二阶导数的正负号)

  $$\nabla^2 \vec{A} - \mu\varepsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu \vec{J}$$

  $$\nabla^2 \Phi - \mu\varepsilon \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$

# 推迟势 (Retarded Potentials)

• 时域解: 考虑到场从源点传播到场点需要时间，方程的解具有“推迟”效应。

  $$\vec{A}(\vec{r}, t) = \frac{\mu}{4\pi} \int \frac{\vec{J}(\vec{r}', t_r)}{|\vec{r}-\vec{r}'|} dV'$$

• 推迟时间: $t_r = t - \frac{|\vec{r}-\vec{r}'|}{c}$。

# 基本辐射单元：电偶极子

• 时谐电流源的矢势:

  $$\vec{A}_s(\vec{r}) = \frac{\mu_0 e^{-jkr}}{4\pi r} \int \vec{J}_s(\vec{r}') e^{jk\hat{r}\cdot\vec{r}'} dV'$$

• 电偶极子定义: 长度 $l$ 远小于波长 $\lambda$，两端带有等量异号电荷的振子。
• 电偶极矩振幅: $\vec{p}_0 = q_0 \vec{l}$。对于电流元 $I_0 dl$，等效偶极矩为 $p_0 = I_0 dl / (j\omega)$。

# 电偶极子辐射场分析

• 辐射场分区:
  • 近区 (Near-Field): $r \ll \lambda$。场以感应场为主，能量主要在源附近交换。
  • 远区 (Far-Field / Radiation-Field): $r \gg \lambda$。场以辐射场为主，能量以电磁波形式向外传播。
• 近区场特性:
  • 磁场强度与电偶极矩的导数相关，电场强度类似于静电偶极子场。
• 远区场 (辐射场) 特性:
  • $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 均与 $1/r$ 成正比。
  • $\vec{E}$, $\vec{H}$ 和传播方向 $\hat{r}$ 相互垂直，具有局部均匀平面波的特征。
  • 远区电场与磁场的关系: $E_\theta = \eta_0 H_\phi$。
• 平均能流与辐射功率:
  • 远区平均能流密度 (坡印廷矢量): $\langle \vec{S} \rangle \propto \frac{\sin^2\theta}{r^2} \hat{r}$。具有方向性，在偶极子轴线方向辐射为零，在垂直轴线方向最强。
  • 总辐射功率: 对包围源的封闭曲面上的能流密度进行积分得到。
  • 辐射电阻: $R_{rad} = \frac{2 \langle P_{rad} \rangle}{|I_0|^2}$。

# 简单天线

• 短天线 (电流元): 长度 $l \ll \lambda$，电流可视为均匀分布。
  • 辐射功率: $P_{rad} = \eta_0 \frac{\pi}{3} (\frac{I_0 l}{\lambda})^2$。
  • 辐射阻抗: $R_{rad} = 80\pi^2 (\frac{l}{\lambda})^2$。(注意分子分母的幂次)
• 半波天线: 长度 $l = \lambda/2$，电流呈正弦分布。
  • 能流分布: 辐射方向图比短天线更集中。
  • 辐射阻抗: 约为 $73.1 \Omega$。