首页课程笔记电子工程系电磁场与波

# 矢量分析 (Vector Analysis)

# 矢量的乘积

  • 矢量内积 (点积)：标量，描述矢量在另一矢量方向上的投影。
  • 矢量外积 (叉积)：矢量，其方向垂直于两原矢量构成的平面，大小等于以两矢量为边的平行四边形面积。
  • 混合积 (标量三重积)：标量，其绝对值等于以三个矢量为邻边构成的平行六面体体积。
  • 二重向量积 (矢量三重积)

# 矢量微分与梯度

  • 矢量微分算符 ∇\nabla (Nabla)：一个形式上的矢量算符，用于表示梯度、散度和旋度。
  • 梯度 (Gradient)：标量场的空间变化率，方向为函数增长最快的方向。
  • 方向导数：标量场在某一特定方向上的变化率。

# 散度与旋度

  • 散度 (Divergence)：矢量场在某点处通量的体密度，描述场的源或汇的强度。
  • 旋度 (Curl)：矢量场在某点处环量的面密度，描述场的涡旋特性。
  • 散度为零的场 (螺线管场)：场线是无头无尾的封闭曲线或从无穷远来到无穷远去。
  • 旋度为零的场 (无旋场、保守场)：场可以表示为某个标量函数的梯度。

# 积分定理

  • 高斯定理 (Gauss's Theorem / Divergence Theorem)：矢量场通过任一封闭曲面的通量，等于该矢量场的散度在该曲面所围体积上的积分。
  • 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem)：矢量场沿任一封闭路径的环量，等于该矢量场的旋度通过以该路径为边界的任一曲面的通量。

# 相关恒等式与运算规则

  • 格林第一恒等式 (Green's First Identity)
  • 格林第二恒等式 (Green's Second Identity)
  • 矢量微分算符运算规则：涉及梯度、散度、旋度的组合运算规则。

# 电荷、电流及其产生的场

# 电荷与电流的描述

  • 电荷密度
    • 点电荷密度
    • 线电荷密度 λ\lambda
    • 面电荷密度 σ\sigma
    • 体电荷密度 ρ\rho
  • 电流与电流密度
    • 稳恒电流定义
    • 线电流 II
    • 面电流密度 K⃗\vec{K}
    • 体电流密度 J⃗\vec{J}

# 电荷守恒定律

  • 电流与电荷的关系：电流是电荷的定向移动。
  • 积分形式：流出任一闭合曲面的净电流等于该曲面内电荷量的减少率。
  • 微分形式 (连续性方程)：∇⋅J⃗+∂ρ∂t=0\nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

# 基本相互作用力与场的叠加

  • 点电荷电场强度 (库仑定律)
  • 连续分布电荷电场强度
  • 稳恒电流场产生的磁场强度 (毕奥-萨伐尔定律)
  • 叠加原理：多个电荷或电流源产生的总场等于各个源单独产生场的矢量和。
  • 带电粒子受到的电磁场作用力 (洛伦兹力)
  • 电流元受到的磁场力
  • 微小体元受到的电磁场作用力

# 静场的基本规律 (真空)

# 静电场

  • 基本方程（微分形式）
    • 静电场散度 (高斯定律微分形式)：∇⋅E⃗=ρϵ0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
    • 静电场旋度 (环路定理微分形式)：∇×E⃗=0\nabla \times \vec{E} = 0
  • 基本方程（积分形式）
    • 静电场高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内总电荷的 1/ϵ01/\epsilon_0 倍。
  • 电势 ϕ\phi
    • 点电荷电势
    • 连续分布电荷电势
    • 已知电场求电势：ϕ(r⃗)=−∫Or⃗E⃗⋅dl⃗\phi(\vec{r}) = -\int_{O}^{\vec{r}} \vec{E} \cdot d\vec{l}
    • 已知电势求电场：E⃗=−∇ϕ\vec{E} = -\nabla \phi
  • 泊松方程
    • 已知电势求电荷密度：∇2ϕ=−ρϵ0\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
  • 总结：电荷、电场、电势的转换关系

# 静磁场

  • 基本方程（微分形式）
    • 静磁场散度：∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
    • 静磁场旋度 (安培环路定理微分形式)：∇×B⃗=μ0J⃗\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}
  • 基本方程（积分形式）
    • 静磁场高斯定理：通过任意闭合曲面的磁通量恒为零。
    • 静磁场安培环路定理：磁感应强度沿任意闭合路径的环量等于该路径所链环的总电流的 μ0\mu_0 倍。
  • 磁矢势 A⃗\vec{A}
    • 定义：B⃗=∇×A⃗\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
    • 磁矢势特解
    • 已知磁矢势求电流密度：∇2A⃗=−μ0J⃗\nabla^2 \vec{A} = -\mu_0 \vec{J} (库仑规范下)
  • 总结：电流、磁场、磁矢势的转换关系

# 麦克斯韦方程组 (静态、真空)

  • 微分形式
    • ∇⋅E⃗=ρϵ0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
    • ∇×E⃗=0\nabla \times \vec{E} = 0
    • ∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
    • ∇×B⃗=μ0J⃗\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}
  • 积分形式
    • ∮SE⃗⋅dS⃗=Qinϵ0\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0}
    • ∮LE⃗⋅dl⃗=0\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0
    • ∮SB⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0
    • ∮LB⃗⋅dl⃗=μ0Ienc\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}
  • 真空中电磁场边值关系

# 介质中的电磁场

# 微观模型：电偶极子与磁偶极子

  • 电偶极子
    • 电偶极矩
    • 电偶极子的电势
    • 电偶极子的电场
  • 磁偶极子
    • 磁偶极矩
    • 磁偶极子的磁矢势
    • 磁偶极子的磁感应强度

# 介质对场的宏观响应

  • 电介质的极化
    • 极化强度 P⃗\vec{P} (对简单介质)
    • 极化体电荷密度 ρp=−∇⋅P⃗\rho_p = -\nabla \cdot \vec{P}
    • 极化面电荷密度 σp=P⃗⋅n^\sigma_p = \vec{P} \cdot \hat{n}
    • 驻极体：具有永久极化强度的电介质。
  • 磁介质的磁化
    • 磁化强度 M⃗\vec{M} (对简单介质)
    • 磁化体电流密度 J⃗m=∇×M⃗\vec{J}_m = \nabla \times \vec{M}
    • 磁化面电流密度 K⃗m=M⃗×n^\vec{K}_m = \vec{M} \times \hat{n}
    • 磁铁 (永磁体)：具有永久磁化强度的磁介质。
  • 导体的传导
    • 传导电流

# 介质中的宏观电磁场方程

  • 辅助矢量
    • 电位移矢量：D⃗=ϵ0E⃗+P⃗\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}
    • 磁场强度：H⃗=1μ0B⃗−M⃗\vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \vec{B} - \vec{M}
  • 介质中的麦克斯韦方程组 (微分形式)
    • ∇⋅D⃗=ρf\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f
    • ∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
    • ∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
    • ∇×H⃗=J⃗f+∂D⃗∂t\nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}
  • 介质中的麦克斯韦方程组 (积分形式)
  • 介质中的电磁场边值关系

# 静电场问题求解

# 静电场理论与能量

  • 静电场中的导体
    • 导体表面电场
    • 导体表面单位面积受力
  • 静电场的能量
    • 自由电荷总势能
    • 电场储能密度 we=12E⃗⋅D⃗w_e = \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D}
  • 静电势方程
    • 泊松方程 (Poisson Equation)：∇2ϕ=−ρϵ\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon}
    • 拉普拉斯方程 (Laplace Equation)：∇2ϕ=0\nabla^2 \phi = 0 (无源区)
  • 静电势的多级展开
    • 电四极子
  • 唯一性定理
    • 第一唯一性定理：给定区域内电荷分布和边界上的电势，区域内的电势由泊松方程和边界条件唯一确定。
    • 第二唯一性定理
    • 导体系统中的唯一性定理
    • 介质中的唯一性定理
  • 边值问题
    • 三类典型边值问题
    • 静电势界面两侧的边值关系

# 静电场求解方法

  • 镜像法
    • 无限大接地金属平板
    • 接地金属球
    • 不接地金属球
  • 分离变量法
    • 将泊松方程转换为拉普拉斯方程求解
    • 正交曲线坐标系
      • 空间位移矢量与坐标参数的微分关系
      • Lame 系数 (直角坐标、球坐标、柱坐标)
      • 正交曲线坐标系下的微分算符表达式
    • 直角坐标系下分离变量
    • 球坐标系下分离变量与勒让德函数 (Legendre Function)
  • 格林函数法
    • 格林函数 (Green's Function)
    • 积分形式解
    • 求解第一类边值问题
    • 求解第二类边值问题

# 静磁场问题求解

# 磁位

  • 磁矢量位 (磁矢势) A⃗\vec{A}
    • 磁矢量位在界面两侧的边值关系
  • 磁标量位 (磁标势) ϕm\phi_m
    • 适用条件：自由电流为零的单连通区域
    • 假想磁荷

# 能量与求解方法

  • 静磁场的能量
    • 稳恒电流系统的储能
    • 磁场储能密度 wm=12B⃗⋅H⃗w_m = \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H}
  • 静电场与静磁场的对应关系
    • 利用对应关系求解自由电流为零的单连通区域的静磁场问题