8. 信号功率谱

# 功率谱密度与自相关函数

自相关函数$R_X(\tau)$ 描述了信号在不同时间点上的相关性。对于一个平稳随机过程 $x(t)$，其自相关函数定义为：

$$R_X(\tau)=\Epsilon [x(t_1)x(t_2)],\quad \tau=t_2-t_1$$

功率谱密度$S_X(f)$ 是自相关函数的傅里叶变换。它反映了信号的平均功率在频域上的分布。这一关系被称为维纳-辛钦定理。

$$S_X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau$$

当信号通过一个线性时不变（LTI）滤波器后，其功率谱密度会发生变化。若滤波器的频率响应为 $P(f)$，则输出信号 $y(t)$ 的功率谱密度 $S_Y(f)$ 为：

$$S_Y(f)=|P(f)|^2S_X(f)$$

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# 基带信号的功率谱

考虑一个由脉冲序列构成的基带信号 $x(t)$，其时域表达式为：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k p(t-kT_s)$$

其中，$a_k$ 是调制符号序列，$p(t)$ 是脉冲波形，$T_s$ 是符号周期。

这个基带信号的自相关函数 $\overline{R_X(\tau)}$ 可以表示为：

$$\overline{R_X(\tau)}=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a[k]R_p(\tau-kT_s)$$

其中，$R_a[k]=\Epsilon [a_i a_{i+k}]$ 是调制符号序列的自相关函数，$R_p(\tau)$ 是脉冲波形 $p(t)$ 的自相关函数。

根据维纳-辛钦定理，其功率谱密度 $S_X(f)$ 为：

$$S_X(f)=\frac{1}{T_s}S_a(f)|P(f)|^2$$

其中，$S_a(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}R_a[n]e^{-j2\pi nfT_s}$ 是符号序列 $a_k$ 的功率谱密度， $|P(f)|^2$ 是脉冲波形 $p(t)$ 的能量谱。

无记忆调制
在无记忆调制（即符号相互独立）的情况下，符号序列的自相关函数 $R_a[n]$ 可以简化为：

$$R_a[n] = \Epsilon[a_i a_{i+n}] = \begin{cases} \sigma_a^2 + m_a^2 & n=0 \\ m_a^2 & n \neq 0 \end{cases}$$

其中，$\sigma_a^2$ 是符号方差，$m_a$ 是符号均值。

将此代入 $S_a(f)$ 的表达式，可以得到基带信号的功率谱密度 $S_X(f)$：

$$\begin{align*} S_X(f) &= \frac{|P(f)|^2}{T_s} \left( \sigma_a^2 + \sum_{n=-\infty}^{\infty} m_a^2 e^{-j2\pi nfT_s} \right) \\ &= \frac{\sigma_a^2}{T_s} |P(f)|^2 + \frac{m_a^2}{T_s^2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} |P(\frac{n}{T_s})|^2 \delta(f-\frac{n}{T_s}) \end{align*}$$

这个结果表明，基带信号的功率谱由两部分组成：

• 连续谱：$\frac{\sigma_a^2}{T_s} |P(f)|^2$，与符号方差有关，表示随机成分的功率分布。
• 线谱：$\frac{m_a^2}{T_s^2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} |P(\frac{n}{T_s})|^2 \delta(f-\frac{n}{T_s})$，与符号均值有关，表示周期性成分的功率分布。当符号均值 $m_a$ 为零时，线谱消失。