7. 通带检测

# 通带检测与等效 AWGN 模型

此部分介绍一维和二维调制下信号能量与噪声功率谱密度的关系。

对于一维调制，信号能量 $E_s$ 和噪声功率 $\sigma^2$ 的表达式为：

$E_s=cE[|a|^2]$

$\sigma^2=\frac{n_0}{2}$

信噪比（SNR）可以表示为：

$\frac{S}{N}=\frac{\overline{a^2_n}}{\sigma^2}=\frac{2E_s}{n_0}$

对于二维调制，信号能量 $E_s$ 和噪声功率 $\sigma^2$ 的表达式为：

$E_s=cE[|a|^2]=cE[|a_I|^2+|a_Q|^2]$

$\sigma^2=n_0=2\sigma_I^2=2\sigma_Q^2,\ \sigma_I^2=\sigma_Q^2=\frac{n_0}{2}$

信噪比（SNR）可以表示为：

$\frac{2E_s}{n_0}=\frac{\overline{a_n^2+b_n^2}}{\sigma^2_I}=\frac{\overline{a_n^2+b_n^2}}{\sigma^2_Q}=\frac{2(\overline{a_n^2+b_n^2})}{\sigma^2}$

此部分对不同调制方式的符号错误概率（SEP）进行分析。

符号: $\{ \pm A, \pm 3A, ..., \pm (M-1)A \}$
判决门限: $\{ 0, \pm 2A, ..., \pm (M-2)A \}$
符号错误概率 (SEP):
- 平均符号能量 $E_s$ : $E_s=E[|a_n|^2]=\frac{M^2-1}{3}A^2$
- 噪声功率谱密度 $n_0=2\sigma^2$
- $P_s=\frac{2(M-1)}{M}Q(\frac{A}{\sigma})=\frac{2(M-1)}{M}Q(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)n_0}})$

符号: $\{ 0, 2A, ..., 2(M-1)A \}$
判决门限: $\{ A, 3A, ..., (2M-3)A \}$
符号错误概率 (SEP):
- 平均符号能量 $E_s$ : $E_s=E[|a_n|^2]=\frac{2(M-1)(2M-1)}{3}A^2$
- $P_s=\frac{2(M-1)}{M}Q(\frac{A}{\sigma})=\frac{2(M-1)}{M}Q(\sqrt{\frac{6E_s}{2(M-1)(2M-1)n_0}})$
性能比较: 在相同的符号错误概率下，单极性 M-ASK 相较于双极性 M-ASK 需要高出 6 dB 的信噪比，尤其在 M 较大时。
M 的影响: M 越大，性能越差。对于较大的 M，M 每翻一倍需要 6 dB 的信噪比来弥补。

符号相位: $\{ 0, \frac{2\pi}{M}, \frac{4\pi}{M}, ..., \frac{2(M-1)\pi}{M} \}$
判决门限: $\{ \frac{\pi}{M}, \frac{3\pi}{M}, ..., \frac{(2M-1)\pi}{M} \}$
符号错误概率 (SEP):
- $P_s\approx2Q(\frac{A}{\sigma_\perp}\sin\frac{\pi}{M})=2Q(\sqrt{\frac{2E_s}{n_0}}\sin\frac{\pi}{M})$
- 对于 4-PSK/4-QAM，近似错误概率为 $P_{s,4PSK/PAM}=2Q(\sqrt{\frac{E_s}{n_0}})$
M 的影响: M 越大，性能越差。对于较大的 M，M 每翻一倍需要 6 dB 的信噪比来弥补。

符号分量:
- $a_n \in \{ \pm A, \pm 3A, ..., \pm (\sqrt M-1) A \}$
- $b_n \in \{ \pm A, \pm 3A, ..., \pm (\sqrt M-1) A \}$
符号错误概率 (SEP):
- 令 $L=\sqrt{M}$
- 平均符号能量 $E_s$ : $E_s=\frac{2(L^2-1)}{3}A^2$
- $P_s=\frac{4L-4}{L}Q(\frac{A}{\sigma_L})=\frac{4L-4}{L}Q(\sqrt{\frac{3}{L^2-1}\frac{E_s}{n_0}})$
- $P_s=4(1-\frac{1}{\sqrt{M}})Q(\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{E_s}{n_0}})$
M 的影响: M 越大，性能越差。与 M-ASK 和 M-PSK 不同，M 每翻一倍只需要 3 dB 的信噪比来弥补，因此在能量效率上更具优势。