6. 通带调制

# 概述

通带调制是将基带信号（通常是低频信号）的数字信息编码到高频载波信号的幅度和/或相位上，以适应通带信道的传输。

# 载波调制信号与正交分解

载波调制信号可以表示为：

$$x(t)=A(t)\cos(\omega_ct+\phi(t))$$

其中，$A(t)$ 是幅度的变化，$ \phi(t)$ 是相位的变化。该信号可以通过 同相分量（In-phase） 和 正交分量（Quadrature） 进行分解，即：

$$x(t)=x_I(t)\cos(\omega_ct)-x_Q(t)\sin(\omega_ct)$$

其中，同相分量 $x_I(t)=A(t)\cos(\phi(t))$，正交分量 $x_Q(t)=A(t)\sin(\phi(t))$。

# 基带等效模型

为简化分析，通常使用 基带等效复信号 $x_{bb}(t)$ 来表示通带信号：

$$x_{bb}(t)=x_I(t)+jx_Q(t)$$

该复信号是通带信号的 解析信号 $x_A(t)$ 在频域上向原点平移得到的，其中解析信号定义为：

$$x_A(t)=x(t)+j\hat x(t)$$

这里的 $\hat x(t)$ 是 $x(t)$ 的 希尔伯特变换，其定义为：

$$\hat x(t)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau$$

通带信号 $x(t)$ 和其希尔伯特变换 $\hat x(t)$ 分别为解析信号的实部和虚部：

$$x(t)=Re\{x_A(t)\}\\ \hat x(t)=Im\{x_A(t)\}$$

在频域上，解析信号的频谱 $X_A(\omega)$ 只包含原信号 $X(\omega)$ 的正频率部分，且幅度加倍（假设 $X(0)=0$）：

$$X_A(\omega)=(1+sgn(\omega))X(\omega)=2X(\omega)I_{\omega>0}$$

因此，基带等效复信号的频谱 $X_{bb}(\omega)$ 则是 $X_A(\omega)$ 向负方向平移 $\omega_c$ 得到：

$$X_{bb}(\omega)=X_A(\omega+\omega_c)=2X(\omega+\omega_c)I_{\omega+\omega_c>0}$$

这个关系说明 $X_{bb}(\omega)$ 是通带信号 $X(\omega)$ 的正频率部分向频域原点平移，并且幅度乘以2。

# 通带传输

通带信道的传输特性也可以用其基带等效模型来表示。通带信道的脉冲响应为 $h(t)$，其解析信号为 $h_A(t)=h(t)+j\hat h(t)$，基带等效脉冲响应为 $h_{bb}(t)=h_A(t)e^{-j\omega_ct}$。

通带传输可以用基带等效模型进行简化分析：

$$y(t)=x(t)*h(t)$$

其对应的基带等效输出信号为 $y_{bb}(t)=\frac12h_{bb}(t)*x_{bb}(t)$。在频域上则有：

$$Y_{bb}(\omega)=H(\omega+\omega_c)X_{bb}(\omega)$$

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# 主要调制方式

# 幅移键控（ASK）

ASK (Amplitude Shift Keying)，也称为 M-level 幅度键控，通过改变载波信号的幅度来传输信息。

# 通带信号

$$x_{MASK}(t)=\sum_{n}a_ng(t-nT_s)\cos(\omega_ct)$$

其中，幅度 $a_n$ 的取值集合为 $\{-(M-1)A,...,-A,0,A,...,(M-1)A\}$。

# 与 PAM 的区别

ASK 是对载波信号进行幅度调制，而 PAM (Pulse Amplitude Modulation) 是对基带脉冲进行幅度调制：

$$PAM: x(t)=\sum_{n}a_ng(t-nT_s)$$

# 调制与解调

• 调制：将 M-level 的基带信号与载波相乘。
• 解调：
  • 包络解调（Envelope Demodulation）：通过带通滤波器、半波/全波整流、低通滤波器、采样器和决策器来恢复原始信号。
  • 相干解调（Coherent Demodulation）：通过带通滤波器、载波乘法器、低通滤波器、采样器和决策器来恢复原始信号。

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# 相移键控（PSK）

PSK (Phase Shift Keying)，也称为 M-level 相移键控，通过改变载波信号的相位来传输信息。

# 通带信号

$$x_{MPSK}(t)=\sum_{n}g(t-nT_s)A\cos(\omega_ct+\phi_n)$$

其中，相位 $\phi_n$ 的取值集合为 $\{0,\frac{2\pi}{M},\frac{4\pi}{M},...,\frac{2(M-1)\pi}{M}\}$。

# 基带等效模型

其基带等效复信号为：

$$x_{bb}(t)=\sum_{n}(A\cos(\phi_n)+jA\sin(\phi_n))g(t-nT_s)$$

# 调制与解调

• 调制：NRZ 编码后，通过相位选择器和载波乘法器实现。
• 解调：
  • 平方循环（Squaring Loop）
  • 科斯塔斯循环（Costas Loop）

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# 正交幅度调制（QAM）

QAM (Quadrature Amplitude Modulation)，也称为 M-level 正交幅度调制，同时改变载波信号的幅度和相位来传输信息。

# 通带信号

$$x_{MQAM}(t)=\sum_{n}a_ng(t-nT_s)\cos(\omega_ct)-\sum_{n}b_ng(t-nT_s)\sin(\omega_ct)$$

其中，同相分量幅度 $a_n$ 和正交分量幅度 $b_n$ 的取值集合为 $\{\pm A,\pm 3A,...,\pm (\sqrt M-1) A \}$。

# 基带等效模型

其基带等效复信号为：

$$x_{bb}(t)=\sum_{n}(a_n+jb_n)g(t-nT_s)$$

# 调制与解调

• 调制：通过 比特到符号映射（Bit-symbol Mapping） 得到同相（I）和正交（Q）两路基带信号，分别与同相（0°）和正交（90°）的载波相乘后求和。
• 解调：通过 相干解调，将接收信号分别与同相和正交的本地载波相乘，再经过匹配滤波器或低通滤波器、采样器和决策器，恢复出两路基带信号。

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# 频移键控（FSK）

FSK (Frequency Shift Keying)，也称为 M-level 频移键控，通过改变载波信号的频率来传输信息。

# 通带信号

$$s_i(t)=A\cos((\omega_c+\omega_i)t)$$

其中，不同的频率对应不同的符号，并且通常满足正交性条件：

$$\int_0^{T_s}s_i(t)s_j(t)dt=0\ (i\ne j)$$

当频率选择为 $f_c+f_i=\frac{n_c+i}{2T_s}$ 时，可以实现正交性。

# 调制与解调

• 调制：通过逻辑选择电路和门电路，将数字信号转换为相应的频率信号，再进行相加。
• 解调：
  • 非相干解调（Non-coherent Demodulation）：接收信号经过 接收滤波器（Rx Filter） 后，通过多个 带通滤波器（BPF） 分别提取不同频率分量，再经包络解调、采样和决策，即可恢复原始信息。