5. 基带检测

# 信噪比 (SNR)

信噪比是衡量信号质量的重要指标，在基带传输的不同阶段，信噪比的定义和计算方式有所不同。

# 增加高斯白噪声后

当信号通过信道并引入高斯白噪声后，此时信噪比为 0。

$$\frac{S}{N}=0$$

# 通过理想低通滤波器 (LPF)

当信号通过一个带宽为 $W$ 的理想低通滤波器后，信噪比的表达式如下：

$$\frac{S}{N}=\frac{E_s}{n_0}\frac{R_s}{W}$$

其中，$E_s$ 是符号能量，其计算公式为：

$$E_s=E\{|a_i|^2 \}\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=E\{|a_i|^2 \}\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df$$

# 通过匹配滤波器

匹配滤波器可以最大化输出端的信噪比。此时的信噪比是最佳信噪比，表达式为：

$$\frac{S}{N}=\frac{2E_s}{n_0}$$

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# 等价基带传输模型

等价基带传输模型用于简化分析，将复杂的基带传输过程抽象为简单的数学模型。

$$y_i=\bar ga_i+n_i\Longleftrightarrow y=a+n$$

其中，$y$ 是接收信号，$a$ 是发送符号，$n$ 是等效高斯噪声。等效噪声的方差为：

$$n\sim N(0,\frac{n_0}{2\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df} )$$

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# 判决准则

判决准则是在接收端根据接收信号来估计发送符号的方法，常见的判决准则有 MAP、ML 和最短距离规则。

# 最大后验概率 (MAP) 规则

MAP 判决规则的目标是最大化后验概率 $P(a|y)$，即在已知接收信号 $y$ 的情况下，选择最有可能的发送符号 $a$。

$$P(a|y)=\frac{f(y|a)P(a)}{f(y)}$$

比较不同符号的后验概率：

$$f(y|a=A_i)P(a=A_i)\ ?\ f(y|a=A_j)P(a=A_j)$$

因此，MAP 判决的数学表达式为：

$$\arg\max_a P(a|y)=\arg\max_a f(y|a)P(a)$$

# 最大似然 (ML) 规则

ML 判决规则的目标是最大化似然函数 $f(y|a)$，即在假设发送了某个符号 $a$ 的情况下，选择最有可能产生接收信号 $y$ 的符号。

$$f(y|a=A_i)\ ?\ f(y|a=A_j)$$

当所有符号 $A_i$ 的先验概率 $P(a=A_i)$ 相等时，ML 规则与 MAP 规则等价。

# 最短距离规则

最短距离判决规则的目标是选择与接收信号 $y$ 距离最近的符号 $A_i$。

$$|y-A_i| \ ?\ |y-A_j|$$

当噪声为加性高斯白噪声 (AWGN) 时，ML 规则与最短距离规则等价。

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# 误符号率 (SEP) 与误比特率 (BEP) 分析

误码率是衡量系统性能的关键指标，通常通过 SEP 和 BEP 来评估。

# 影响误符号率 (SEP) 的因素

SEP 主要受两个因素影响：

• 符号距离：符号之间的距离越大，越不容易误判。这与信号功率相关。
• 概率密度函数的峰度：噪声的概率密度函数 (PDF) 越尖锐，说明噪声功率越小，误判的概率也越小。这与噪声功率相关。

# 常用函数

• 高斯累积分布函数 $Q(x)$

$$Q(x)=\int_x^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

• 互补误差函数 $erfc(z)$

$$erfc(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_z^{\infty}e^{-x^2}dx$$

$Q(x)$ 和 $erfc(z)$ 的关系：

$$Q(x)=\frac12erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})$$

# 二进制对跖信号 (Binary Antipodal Signal) SEP

对于二进制对跖信号，其符号能量 $E_s = A^2$。其 SEP 与信噪比的关系如下：

$$P_s=Q(\frac{A}{\sigma})=Q(\sqrt{\frac{S}{N}})=Q(\sqrt{\frac{2E_s}{n_0}})$$

其中，$S$ 为信号平均功率，$N$ 为噪声功率。

$$S=\frac1M\sum_{i=1}^M|a_i|^2=A^2\\ N=\sigma^2$$

# 二进制非对跖信号 (Binary Non-Antipodal Signal) SEP

对于二进制非对跖信号，其 SEP 表达式为：

$$P_s=Q(\sqrt{\frac{E_s}{n_0}})$$

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# 误比特率 (BEP)

当误符号率较低时，通常一个符号错误大致对应一个比特错误。因此，误比特率 $P_b$ 可以近似为：

$$P_b\approx \frac{P_s}{\log_2M}$$