3. 信道编码

# 基本概念与评价指标

理想信道编码：在理想情况下，如果传输速率 $R$ 小于信道容量 $C$ ，当码长 $n$ 趋于无穷大时，差错率 $P$ 可以趋近于 0。错误指数 $E(R)$ 描述了差错率随码长的下降速度，即 $P \le e^{-nE(R)}$ 。
信道编码种类：
- 反馈检测（Detection with Feedback）：通过反馈信道进行检测和确认。
- 自动重传请求（ARQ, Automatic Repeat reQuest）：一种差错控制方法，结合了错误检测与重传机制。
- 前向纠错（FEC, Forward Error Correction）：在发送端加入冗余信息，接收端利用这些信息直接纠正错误。
评价指标：
- 误比特率（BER, Bit Error Rate）：衡量传输过程中比特错误数量的指标。
- 码率（Code Rate）：编码效率的度量，定义为信息比特数 $k$ 与总编码比特数 $n$ 的比值，即 $\text{Code Rate} = k/n$ 。

编码分类：
- 线性码（Linear Code）：所有有效码字构成一个线性子空间。
- 分组码（Block Code）：将数据分成固定长度的组进行编码。
- 卷积码（Convolutional Code）：通过滑动窗口对数据流进行编码。
- 系统码（Systematic Code）：编码后的码字中，原始信息比特位保持不变。
关键术语：
- 校验位（Parity Bits）：为检测或纠正错误而附加的冗余位。
- 有效码字（Valid Codewords）：符合编码规则的合法码字，其数目为 $2^k$ 。
有限域 GF(2)：二进制码字运算遵循 GF(2) 运算规则（即模2加减法，异或运算）。

最简单的错误检测方法，其校验位为信息位的模2和。发送端将信息位与校验位之和设为0，接收端通过检查所有位的模2和是否为0来检测错误。

海明编码是一种经典的线性分组码，具有单比特纠错能力。

海明距离：两个码字之间不同比特位的数量，记为 $d(x, y)$ 。最小海明距离 $d_{min}$ 是所有不同有效码字对的海明距离中的最小值。
检错与纠错能力：
- 检错距离 $e$ 和纠错距离 $t$ 必须满足： $t+e+1 \le d_{min}$ 。
- 当仅用于纠错时，即 $e=t$ ，则 $2t+1 \le d_{min}$ 。
- 当仅用于检错时，即 $t=0$ ，则 $e+1 \le d_{min}$ 。
编码与解码：
- 编码：利用生成矩阵 $G = [I_k:Q]$ ，将信息向量 $x$ 编码为码字 $a = xG = x[I_k:Q]$ 。
- 校验矩阵：校验矩阵 $H^T = \begin{bmatrix} Q \\ I_r \end{bmatrix}$ ，其中 $r$ 为校验位的数量。有效码字必须满足 $aH^T = 0$ 。
- 解码：接收到的码字为 $b = a+e$ $b = a + e$ （ $e$ $e$ 为错误向量）。通过计算伴随式 $s = bH^T = eH^T$ $s = b H^{T} = e H^{T}$ 来进行错误检测和纠正。
  - 当 $s=0$ 时，表示没有错误。
  - 当 $s \ne 0$ 时，对于单比特错误，伴随式 $s$ 将对应于 $H^T$ 的某一列，从而指示出错的比特位置。
单比特纠错能力：海明编码能识别 $2^r-1$ 种错误模式和1种正确模式。要纠正所有单比特错误，校验位数量 $r$ 需满足 $2^r \ge n+1$ 。
性能评估：对于海明编码，最小海明距离 $d_{min}=3$ ，因此可纠正 $t=1$ 个比特错误。其码率为 $\frac{2^r-1-r}{2^r-1}$ 。

交织器是一种用于对抗突发错误的编码技术，它通过重新排列数据位，将突发错误分散为随机的单比特错误，从而使纠错码（如海明码）能有效处理。