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# 采样

# 理想采样

理想采样是指用一个冲激串对连续信号 m(t)m(t) 进行采样，得到离散信号 ms(t)m_s(t)。

  • 时域表达式

    ms(t)=m(t)s(t)=∑nm(t)δ(t−nTs)=∑nm(nTs)δ(t−nTs)m_s(t) = m(t)s(t) = \sum_n m(t)\delta(t-nT_s) = \sum_n m(nT_s)\delta(t-nT_s)

    其中，TsT_s 为采样周期，s(t)s(t) 为冲激串。

  • 频域表达式
    根据时域卷积定理，信号的傅里叶变换是其时域卷积的傅里叶变换。

    Ms(f)=M(f)∗S(f)=M(f)∗1Ts∑nδ(f−nfs)=1Ts∑nM(f−nfs)M_s(f) = M(f) * S(f) = M(f) * \frac1{T_s}\sum_n\delta(f-nf_s) = \frac1{T_s}\sum_n M(f-nf_s)

    其中，fs=1/Tsf_s = 1/T_s 为采样频率。

    我们也可以直接对 ms(t)m_s(t) 进行傅里叶变换：

    Ms(f)=F{ms(t)}=F{∑nm(nTs)δ(t−nTs)}=∑nm(nTs)F{δ(t−nTs)}=∑nm(nTs)e−j2πnTsfM_s(f) = F\{m_s(t)\} = F\{\sum_n m(nT_s)\delta(t-nT_s)\} = \sum_n m(nT_s)F\{\delta(t-nT_s)\} = \sum_n m(nT_s)e^{-j2\pi nT_sf}

# 低通信号采样

对于一个最大频率为 WW 的低通信号，为了避免采样后的频谱混叠（Aliasing），必须满足奈奎斯特采样定理（Nyquist Rate）。

  • 无混叠的充分条件

    fs≥2Wf_s \ge 2W

  • 信号重建
    在满足奈奎斯特采样定理的条件下，我们可以通过一个理想低通滤波器从采样信号的频谱 Ms(f)M_s(f) 中恢复出原始信号的频谱 M(f)M(f)。

    在 [−W,W][-W, W] 频率范围内，原始信号频谱为：

    M(f)=Ms(f)1/Ts=1fs∑nm(nTs)e−j2πnTsfM(f) = \frac{M_s(f)}{1/T_s} = \frac1{f_s}\sum_nm(nT_s)e^{-j2\pi nT_sf}

    对 M(f)M(f) 进行傅里叶逆变换，得到原始信号 m(t)m(t)：

    m(t)=F−1{M(f)}=∫−WWM(f)ej2πftdf=1fs∫−WW∑nm(nTs)e−j2πnTsfej2πftdfm(t) = F^{-1}\{M(f)\} = \int_{-W}^W M(f)e^{j2\pi ft}df = \frac1{f_s}\int_{-W}^W \sum_n m(nT_s)e^{-j2\pi nT_sf}e^{j2\pi ft}df

    将积分和求和互换：

    m(t)=1fs∑nm(nTs)∫−WWej2π(t−nTs)fdfm(t) = \frac1{f_s}\sum_n m(nT_s) \int_{-W}^W e^{j2\pi (t-nT_s)f}df

    根据傅里叶逆变换，F−1{I∣f∣≤W}=sin(2πWt)πtF^{-1}\{I_{|f|\le W}\} = \frac{sin(2\pi Wt)}{\pi t}，因此：

    m(t)=1fs∑nm(nTs)F−1{I∣f∣≤W}(t−nTs)=∑nm(nTs)sin[2πW(t−nTs)]πfs(t−nTs)m(t) = \frac1{f_s}\sum_n m(nT_s)F^{-1}\{I_{|f|\le W}\}(t-nT_s) = \sum_n m(nT_s)\frac{sin[2\pi W(t-nT_s)]}{\pi f_s(t-nT_s)}

# 带通信号采样

对于一个频率范围在 [fL,fH][f_L, f_H] 且带宽为 B=fH−fLB = f_H - f_L 的带通信号。

  • 符号表示

    fL<fc<fH(其中 fc 为载波频率)B=fH−fLf_L < f_c < f_H \quad (\text{其中 } f_c \text{ 为载波频率}) \\ B = f_H - f_L

  • 推导
    为了避免频谱混叠，采样频率 fsf_s 需要满足：

    2fH≤kfs和(k−1)fs≤2fL2f_H \le kf_s \quad \text{和} \quad (k-1)f_s \le 2f_L

    其中 kk 为正整数，表示采样频谱中的第 kk 个拷贝。

    由此可以推导出采样频率的范围：

    2fHk≤fs≤2fLk−1\frac{2f_H}{k} \le f_s \le \frac{2f_L}{k-1}

    同时，为了保证有解，需要满足 2fHk≤2fLk−1\frac{2f_H}{k} \le \frac{2f_L}{k-1}，即 k(fH−fL)≥fH−fL≥fH/fLk(f_H - f_L) \ge f_H - f_L \ge f_H/f_L。当 fH−fLf_H-f_L 比较大时，我们主要关注 2fHk≤2fLk−1\frac{2f_H}{k} \le \frac{2f_L}{k-1}。

    kk 的取值范围为：

    1≤k≤kmax=⌊fHB⌋1 \le k \le k_{max} = \lfloor \frac{f_H}{B} \rfloor

    最小采样频率 fs,minf_{s,min} 为：

    fs,min=2fHkmax=2(kmaxB+{fHB}B)kmax=2B(1+{fHB}kmax)=2B(1+{fHB}⌊fHB⌋)f_{s,min} = \frac{2f_H}{k_{max}} = \frac{2(k_{max}B + \{ \frac{f_H}{B} \}B)}{k_{max}} = 2B\left(1 + \frac{\{ \frac{f_H}{B} \}}{k_{max}}\right) = 2B\left(1 + \frac{\{ \frac{f_H}{B} \}}{\lfloor \frac{f_H}{B} \rfloor}\right)

    其中 {x}\{x\} 表示小数部分，⌊x⌋\lfloor x \rfloor 表示向下取整。

    当 fHf_H 远大于 BB 时，我们可以近似得到：

    fs,min≤2B(1+1fH/B−1)f_{s,min} \le 2B\left(1 + \frac{1}{f_H/B-1}\right)

# 量化

量化是将连续的幅度值映射到离散的有限个电平。

  • 量化参数

    判决电平 (Decision levels): Dl,Dl+1量化步长 (Step size): Δl=Dl+1−Dl量化值 (Representation point): Q(m)=Tl当 Dl<m≤Dl+1\text{判决电平 (Decision levels): } D_l, D_{l+1} \\ \text{量化步长 (Step size): } \Delta_l = D_{l+1} - D_l \\ \text{量化值 (Representation point): } Q(m) = T_l \quad \text{当 } D_l < m \le D_{l+1}

# 均匀量化

均匀量化的量化步长是固定的。

  • 定义

    Δl≡Δ=2mmaxL\Delta_l \equiv \Delta = \frac{2m_{max}}{L}

    其中 mmaxm_{max} 是信号的最大幅度，LL 是量化电平数。

    根据零点位置，均匀量化分为两种：

    • Midtread (中阶型)：量化零点不是一个量化值，即 Q(m)≠0Q(m) \neq 0。
    • Midrise (中点型)：量化零点是一个量化值，即存在 mm 使得 Q(m)=0Q(m)=0。

    通常，量化值 TlT_l 位于判决电平的中点：

    Tl=Dl+Dl+12T_l = \frac{D_l + D_{l+1}}{2}

  • 信噪比（SNR）分析
    假设：信号在 [−mmax,mmax]\left[-m_{max}, m_{max}\right] 均匀分布，量化误差 qq 在 [−Δ/2,Δ/2]\left[-\Delta/2, \Delta/2\right] 均匀分布。

    量化噪声的平均功率（方差）为：

    σq2=∫−∞∞q2fq(q)dq=∫−Δ/2Δ/2q2(1Δ)dq=Δ212=mmax23L2=mmax23×22R\sigma_q^2 = \int_{-\infty}^{\infty} q^2 f_q(q) dq = \int_{-\Delta/2}^{\Delta/2} q^2 \left(\frac{1}{\Delta}\right) dq = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{m_{max}^2}{3L^2} = \frac{m_{max}^2}{3 \times 2^{2R}}

    其中 RR 是量化比特数，L=2RL = 2^R。

    信号的平均功率（方差）为 σm2=∫−mmaxmmaxm2fm(m)dm\sigma_m^2 = \int_{-m_{max}}^{m_{max}} m^2 f_m(m) dm。

    量化信噪比为：

    SNRq=σm2σq2=σm2Δ2/12=σm2mmax2/(3×22R)=3×22Rσm2mmax2=3×22RD2SNR_q = \frac{\sigma_m^2}{\sigma_q^2} = \frac{\sigma_m^2}{\Delta^2/12} = \frac{\sigma_m^2}{m_{max}^2/(3 \times 2^{2R})} = 3 \times 2^{2R} \frac{\sigma_m^2}{m_{max}^2} = 3 \times 2^{2R} D^2

    其中 D=σmmmaxD = \frac{\sigma_m}{m_{max}}。

    用分贝表示：

    10log⁡10SNRq=10log⁡10(3×22RD2)=10log⁡103+20log⁡102R+20log⁡10D=4.77+6.02R+20log⁡10D10 \log_{10} SNR_q = 10 \log_{10}(3 \times 2^{2R} D^2) = 10 \log_{10} 3 + 20 \log_{10} 2^R + 20 \log_{10} D = 4.77 + 6.02R + 20 \log_{10} D

  • 过载噪声
    当信号幅度超出量化范围 [Vmin,Vmax]\left[V_{min}, V_{max}\right] 时，会产生过载失真，这种失真也属于量化噪声。

    σqs2=σq2+σq02\sigma_{qs}^2 = \sigma_q^2 + \sigma_{q0}^2

    其中 σq2\sigma_q^2 是正常量化噪声的方差，σq02\sigma_{q0}^2 是过载噪声的方差。

    σq02=∫Vmax∞[m−(Vmax−Δ2)]2fm(m)dm+∫−∞Vmin[m−(Vmin+Δ2)]2fm(m)dm\sigma_{q0}^2 = \int_{V_{max}}^{\infty} [m-(V_{max}-\frac{\Delta}{2})]^2 f_m(m)dm + \int_{-\infty}^{V_{min}} [m-(V_{min}+\frac{\Delta}{2})]^2 f_m(m)dm

# 最优量化

最优量化是指在给定量化电平数 LL 的情况下，通过选择合适的判决电平 DlD_l 和量化值 TlT_l，使量化噪声功率最小。

量化噪声功率 Nq=∑l∫DlDl+1(m−Tl)2fm(m)dmN_q = \sum_l \int_{D_l}^{D_{l+1}} (m-T_l)^2 f_m(m) dm。
为了使 NqN_q 最小，需要满足：

Dlopt=Tl−1+Tl2和Tlopt=∫DlDl+1mfm(m)dm∫DlDl+1fm(m)dmD_l^{opt} = \frac{T_{l-1} + T_l}{2} \quad \text{和} \quad T_l^{opt} = \frac{\int_{D_l}^{D_{l+1}} m f_m(m) dm}{\int_{D_l}^{D_{l+1}} f_m(m) dm}

这两个方程需要迭代求解。

# 鲁棒量化

对于幅度分布不均匀的信号（如语音信号），均匀量化不是最优的。鲁棒量化采用非均匀量化方式，通过压缩器和扩张器来改善信噪比。

  • 典型音频信号分布
    语音信号的幅度分布通常可以用拉普拉斯分布来近似：

    p(x)=1σx2e−2∣x∣σxp(x) = \frac{1}{\sigma_x \sqrt{2}} e^{-\frac{\sqrt{2}|x|}{\sigma_x}}

  • 压缩-扩张器 (Compander)
    压缩器在量化前对信号进行非线性压缩，使得小幅度信号的量化步长更小，而大幅度信号的量化步长更大，从而提高小信号的信噪比。接收端使用扩张器进行反向操作。常用的标准有 A-law 和 μ\mu-law。

# 脉码调制 (PCM)

脉码调制（Pulse Code Modulation, PCM） 是一种将模拟信号转换为数字信号的方法，它包括采样、量化和编码三个过程。

  • 协议
    例如，8bit 的 PCM 协议通常将最高位作为符号位（正数为 1，负数为 0），其余位表示量化值。量化值通常取判决电平的中点。
  • 差分调制 (DM)
    差分脉码调制（DPCM） 是 PCM 的一种变体，它不是对信号本身进行量化，而是对信号的差分（即当前采样值与前一采样值的差）进行量化，这可以利用信号的冗余来减小传输速率。