10. 状态空间分析

# 状态空间描述

状态空间分析是一种强大的系统分析方法，它通过一组一阶微分（或差分）方程来描述系统的内部状态。

# 基本概念

• 状态变量 $q_i(t)$：能够完整描述系统在任意时刻状态的最小一组变量。
• 状态向量 $q(t)$：由所有状态变量组成的列向量。
• 连续时间系统：
  • 状态方程：$\frac{d}{dt}q(t)=Aq(t)+Bx(t)$
  • 输出方程：$y(t)=Cq(t)+Dx(t)$
• 离散时间系统：
  • 状态方程：$q[n+1]=Aq[n]+Bx[n]$
  • 输出方程：$y[n]=Cq[n]+Dx[n]$
• 对于线性时不变系统，矩阵 $A, B, C, D$ 的元素均为常数。
• 在实际物理实现中，积分器（$\frac{1}{s}$）和延迟单元（$e^{-s}$ 或 $z^{-1}$）是实现状态空间描述的基本单元。

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# 从系统函数到状态方程

状态空间描述并非唯一，一个系统函数可以有多种对应的状态空间表示形式。

# 一阶系统的状态方程描述

对于一阶系统函数 $H(s)=\frac{1}{s-a}$，其状态方程描述为：

• $\frac{d}{dt}q(t)=aq(t)+x(t)$
• $y(t)=q(t)$

这可以理解为，输入 $x(t)$ 经过一个积分器得到中间状态 $q(t)$，同时 $q(t)$ 经放大器放大 $a$ 倍后反馈至加法器，与输入 $x(t)$ 相加。系统的输出 $y(t)$ 等于状态 $q(t)$。

# N 阶系统的状态方程描述

对于一般的 $N$ 阶系统，有以下几种常用的状态空间描述形式：

# 流图分析法

通过系统的信号流图，可以系统地找出反馈环路和输入输出通路，从而得到系统函数。

# 直接形式

对于系统函数 $H(s)=\frac{b_0s^N+b_1s^{N-1}+...+b_N}{s^N+a_1s^{N-1}+...+a_N}$，我们可以将其整理为：
$H(s)=\frac{b_0+b_1/s+...+b_N/s^N}{1+a_1/s+...+a_N/s^N}$
这种形式下，每个积分器的输出都可以被选作一个状态变量 $q_i$。其状态方程为：

• $\frac{d}{dt}q_i(t)=q_{i+1}(t)$，其中 $i=1, 2, ..., N-1$
• $\frac{d}{dt}q_N(t)=-a_Nq_1(t)-a_{N-1}q_2(t)-...-a_1q_N(t)+x(t)$
• $y(t)=\hat b_Nq_1(t)+\hat b_{N-1}q_2(t)+...+\hat b_1q_N(t)+b_0x(t)$
• 其中，$\hat b_i = b_i-b_0a_i$。

# 并联形式

通过部分分式展开，将系统函数表示为：
$H(s)=b_0+\frac{k_1}{s-\lambda_1}+\frac{k_2}{s-\lambda_2}+...+\frac{k_N}{s-\lambda_N}$
在这种形式下，系统的状态方程描述为：

• $\frac{d}{dt}q_i=\lambda_i q_i+x$
• $y=\sum_{i=1}^{N}k_iq_i+b_0x$
• 注意：这种形式下，各个状态变量是解耦的，互不影响。

# 串联形式

将系统函数表示为一系列一阶系统的串联：
$H(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_N)}{(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)...(s-\lambda_N)}$
其中 $H(s)=\prod_{i=1}^{N}H_i(s)$，且 $H_i(s)=\frac{s-z_i}{s-\lambda_i}$。

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# 状态方程的变换域解法

通过拉普拉斯变换或Z变换，可以方便地求解状态方程。

# 连续系统

• 状态方程求解
  • 对状态方程进行拉普拉斯变换：$sQ(s)-q(0^-)=AQ(s)+BX(s)$
  • 求解得到状态向量的变换域表示：$Q(s)=(sI-A)^{-1}[q(0^-)+BX(s)]$
  • 将结果分解为两部分：$Q(s)=\underbrace{(sI-A)^{-1}q(0^-)}_\text{零输入响应} + \underbrace{(sI-A)^{-1}BX(s)}_\text{零状态响应}$
  • 定义转移矩阵的拉普拉斯变换 $\Phi(s)=(sI-A)^{-1}$，其时域表示为 $\phi(t) = \mathcal{L}^{-1}\{\Phi(s)\}$。
  • 对 $Q(s)$ 进行拉普拉斯逆变换，得到时域解：$q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\Phi(s) \}q(0^-)+\mathcal{L}^{-1}\{\Phi(s)BX(s) \}$。
• 输出方程求解
  • 对输出方程进行拉普拉斯变换：$Y(s)=CQ(s)+DX(s)$
  • 代入 $Q(s)$ 的解：$Y(s)=C\Phi(s)q(0^-)+[C\Phi(s)B+D]X(s)$
  • 系统函数 $H(s)$ 为 $H(s)=[C\Phi(s)B+D]$，因此 $Y(s)=C\Phi(s)q(0^-)+H(s)X(s)$。

# 离散系统

• 状态方程求解
  • 对状态方程进行Z变换：$zQ(z)-zq[0]=AQ(z)+BX(z)$
  • 求解得到：$Q(z)=(zI-A)^{-1}zq[0]+(zI-A)^{-1}BX(z)$
• 输出方程求解
  • 对输出方程进行Z变换：$Y(z)=C(zI-A)^{-1}zq[0]+[C(zI-A)^{-1}B+D]X(z)$
• 重要性质
  • 方程 $\det(sI-A)=0$ 的根，即矩阵 $A$ 的特征值，是系统的所有极点。
  • 如果矩阵 $A$ 的所有特征值都位于左半平面（连续系统）或单位圆内（离散系统），则系统是稳定的。

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# 状态向量的线性变换

系统的状态变量选取并非唯一。通过线性变换，可以将一组状态向量变换为另一组。

• 设有一组状态向量 $q$，通过可逆矩阵 $P$ 变换得到新的状态向量 $q' = Pq$。
• 相应的状态空间矩阵会发生变换：
  • $\hat A=PAP^{-1}$
  • $\hat B=PB$
  • $\hat C=CP^{-1}$
  • $\hat D=D$
• 重要性质：不同的状态向量选择不改变系统函数 $H(s)$ 和矩阵 $A$ 的特征值。
• 对角化：通过找到 $A$ 的特征向量并以此构造变换矩阵 $P$，可以实现矩阵 $A$ 的对角化，从而简化系统分析。

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# 可控性与可观性

可控性和可观性是衡量系统结构性质的两个关键概念。

# 基本定义

• 可控性：如果系统能够通过输入信号，在有限时间内将所有状态从任意初始值转移到零状态，则称系统是完全可控的。
• 可观性：如果能够通过有限时间内的输出信号，唯一确定系统的初始状态，则称系统是完全可观的。

# 判别方法

# 规范型判据

• 可控性：当系统矩阵 $A$ 被对角化（或变为约当规范型）后，若矩阵 $B$ 没有全零行，则系统是完全可控的。
• 可观性：当系统矩阵 $A$ 被对角化（或变为约当规范型）后，若矩阵 $C$ 没有全零列，则系统是完全可观的。
• 特例：在对角化形式下，若矩阵 $B$ 的第 $m$ 行为零，则状态变量 $q_m$ 与输入无关，系统不可控。若矩阵 $C$ 的第 $m$ 列为零，则无法从输出观察到状态 $q_m$，系统不可观。

# 秩判据

• 可控性：若可控性矩阵 $M=[B | AB | ... | A^{k-1}B]$ 的秩为 $k$（系统的状态变量个数），则系统是完全可控的。
• 可观性：若可观性矩阵 $N=[C^T | (CA)^T | ... | (CA^{k-1})^T]^T$ 的秩为 $k$（系统的状态变量个数），则系统是完全可观的。

# 与系统函数的关系

• 一个系统不完全可控或不完全可观，在$s$域中表现为其系统函数 $H(s)$ 必然发生零极点相消。
• 这意味着，状态方程、框图和流图是对系统的完整描述，而化简后的系统函数 $H(s)$ 只反映了系统中可控且可观的部分。