8. Z变换及其应用

# Z 变换的基本概念与定义

# Z 变换的定义

Z 变换由离散系统的特征函数引出。对于离散时间信号 $x[n]$ ，其 Z 变换 $X(z)$ 定义为：

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

其中， $z$ 是一个复变量。

# Z 变换与 Laplace 变换的关系

Z 变换可以看作是采样信号的 Laplace 变换（LT）。当对一个连续时间信号 $x_a(t)$ 进行采样得到 $x[n]$ 时，采样信号的 LT $L\{x_s(t) \}$ 与 Z 变换之间存在如下关系：

$L\{x_s(t) \}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_s(nT)e^{-snT}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

其中， $z=e^{sT}$ ， $T$ 为采样周期。

# Z 平面与 s 平面的映射关系

s 平面通常用直角坐标系 $s=\sigma+j\omega$ 表示，而 z 平面通常用极坐标系 $z=re^{j\Omega}$ 表示。s 平面到 z 平面的映射关系为：

$r=e^{\sigma T}=e^{2\pi\sigma/\omega_s}\\ \Omega=\omega T=\frac{2\pi\omega}{\omega_s}$

该映射将 s 平面上的垂直线映射到 z 平面上的圆，将 s 平面上的水平线映射到 z 平面上始于原点的射线。特别地：

s 平面的虚轴（ $\sigma=0$ ）映射到 z 平面的单位圆（ $r=1$ ）。
s 平面的左半平面（ $\sigma<0$ ）映射到 z 平面的单位圆内部（ $r<1$ ）。
s 平面的右半平面（ $\sigma>0$ ）映射到 z 平面的单位圆外部（ $r>1$ ）。
s 平面的实轴（ $\omega=0$ ）映射到 z 平面的正实轴。
s 平面上 $\omega=\pm \omega_s/2$ 映射到 z 平面的负实轴。
s 平面上的周期为 $\omega_s$ 。

# Z 变换与 DTFT 的关系

离散时间傅里叶变换（DTFT）是 Z 变换的一个特例。DTFT $F\{x[n]\}$ 是 Z 变换在单位圆上（即 $|z|=1$ ）的特殊情况。

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\Omega n}=F\{x[n]r^{-n} \}$

# Z 变换的收敛域（ROC）与性质

# 收敛域（ROC）

Z 变换收敛的充分条件是 $x[n]z^{-n}$ 绝对可求和，即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n]z^{-n}\right|<\infty$ 。满足此条件的 $z$ 的取值范围称为 Z 变换的收敛域（ROC）。

ROC 的特性：
- ROC 不包含任何极点。
- ROC 是以原点为中心的圆环。
- 如果 $x[n]$ 是有限长序列，ROC 是整个 z 平面，可能除去 $z=0$ 和 $|z|=\infty$ 。
- 如果 Z 变换为有理函数形式，其 ROC 被极点所界定。
ROC 与序列类型的关系：
- 右边序列：ROC 位于最外层极点以外，是一个圆的外部区域。若 $n<0$ 时有非零值，则不包含 $|z|=\infty$ 。
- 左边序列：ROC 位于最里层极点以内，是一个圆的内部区域。若 $n>0$ 时有非零值，则不包含 $z=0$ 。
- 双边序列：ROC 是一个圆环。若双边序列可以分解为右边部分 $I^+(z)$ 和左边部分 $I^-(z)$ ，其 ROC 是两个部分 ROC 的交集。

# Z 变换的性质

线性特性： $Z\{\sum_{i}a_ix_i[n] \}=\sum_{i}a_iZ\{x_i[n] \}$ 。组合后的 ROC 至少是各分量 ROC 的交集，如果零点与极点相消，ROC 可能会扩大。
时移性质：
- 双边： $Z\{x[n-m] \}=z^{-m}X(z)$ 。移位后，原点和无穷远点可能加入或除去 ROC。
- 单边：
  - 左移： $Z\{x[n+m]u[n] \}=z^m[X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x[k]z^{-k} ]$ 。
  - 右移： $Z\{x[n-m]u[n] \}=z^{-m}X(z)+\sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-(m+k)}$ 。
时间反转性质： $Z\{x[-n] \}=X(1/z)$ ，ROC 为 $1/R$ 。
与指数序列相乘： $Z\{a^n x[n] \}=X(z/a)$ ，ROC 为 $|a|R$ 。
共轭性质： $Z\{x^*[n] \}=X^*(z^*)$ ，ROC 为 $R$ 。实序列的极点和零点共轭成对出现。
卷积性质： $Z\{x[n]*h[n] \}=X(z)H(z)$ 。卷积后的 ROC 至少是各分量 ROC 的交集。
z 域微分性质： $Z\{nx[n] \}=-z\frac{dX(z)}{dz}$ 。
初值定理：若 $x[n]$ 为因果序列， $x[0]=\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)$ 。
终值定理：若 $x[n]$ 为因果序列且 $X(z)$ 在单位圆外没有极点， $z=1$ 处最多有一阶极点，则 $\lim_{n\rightarrow\infty}x[n]=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)$ 。

# 常见的 Z 变换对与逆 Z 变换

# 常见 Z 变换对

序列 $x[n]$	Z 变换 $X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	$z\in Z$ (整个复平面)
$\delta[n+k]$	$z^k$	$z\in Z$
$u[n]$	$\frac{z}{z-1}$	$\mid z \mid>1$
$a^nu[n]$	$\frac{z}{z-a}$	$\mid z \mid>\mid a \mid$
$a^nu[-n-1]$	$-\frac{z}{z-a}$	$\mid z \mid<\mid a \mid$
$\cos(\omega_0n)u[n]$	$\frac{z^2-z\cos\omega_0}{z^2-2z\cos\omega_0+1}$	$\mid z \mid>1$
$\sin(\omega_0n)u[n]$	$\frac{z\sin\omega_0}{z^2-2z\cos\omega_0+1}$	$\mid z \mid>1$

# 逆 Z 变换

逆 Z 变换是求给定 Z 变换 $X(z)$ 对应的时域序列 $x[n]$ 的过程。

一般方法（留数法）：
$Z^{-1}\{X(z)\}=\frac1{2\pi j}\oint_CX(z)z^{n-1}dz=\sum_mRes[X(z)z^{n-1},z_m]$
部分分式展开法：
将 $X(z)/z$ 展开为部分分式，再通过常见的 Z 变换对表进行逆变换。
幂级数展开法：
将 $X(z)$ 表示为 $z^{-1}$ （右边序列）或 $z$ （左边序列）的幂级数，系数即为序列 $x[n]$ 的值。此方法适用于单边信号，对非有理 Z 变换式尤其有效，但通常无法得到闭式解。

# Z 变换在离散 LTI 系统中的应用

# 用 Z 变换分析与表征离散 LTI 系统

系统函数（传递函数）：系统函数 $H(z)$ 是输出序列的 Z 变换 $Y(z)$ 与输入序列的 Z 变换 $X(z)$ 的比值，即 $H(z) = Y(z)/X(z)$ 。它与系统的冲激响应 $h[n]$ 构成 Z 变换对。
系统函数与差分方程：对于 LTI 系统，其系统函数可由差分方程 $\sum_k a_ky[n-k]=\sum_k b_kx[n-k]$ 得到：
$H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$
注意：仅从差分方程得到的系统函数没有包含 ROC 信息，无法唯一确定系统的冲激响应。
因果性与系统函数：一个有理系统函数 $H(z)$ 的 LTI 系统是因果的，当且仅当其 ROC 是最外层极点的外部区域，且分子的阶次不高于分母的阶次。
稳定性与系统函数：一个 LTI 系统是稳定的，当且仅当其系统函数的 ROC 包含单位圆。对于因果 LTI 系统，其稳定等价于所有极点都在单位圆内。
逆系统：一个稳定因果逆系统存在的充要条件是 LTI 系统 $H(z)$ 的所有零点都位于单位圆内。逆系统的零点和极点与原系统正好互换。
频率响应：系统的频率响应 $H(e^{j\omega})$ 可通过将 $H(z)$ 中的 $z$ 用 $e^{j\omega}$ 替换得到。零点使幅频响应衰减，极点使幅频响应出现峰值。

# 用 Z 变换解差分方程

利用 Z 变换的性质，特别是单边 Z 变换的时移性质，可以将离散系统的差分方程转化为代数方程进行求解。

将差分方程两边取单边 Z 变换，得到 $A(z)Y(z)+C(z)=B(z)X(z)+D(z)$ 。
解出 $Y(z) = \frac{B(z)}{A(z)}X(z) - \frac{C(z)}{A(z)}$ ，其中第一项为零状态响应，第二项为零输入响应。

# Z 变换在数字滤波器设计中的应用

数字滤波器可以仅由乘法、加法和延迟运算构成，非常适合用计算机实现。

数字滤波器分类：
- 有限冲激响应（FIR）滤波器：冲激响应 $h[n]$ 具有有限非零值。此类滤波器一定是 BIBO 稳定的，并能实现线性相位响应。
- 无限冲激响应（IIR）滤波器：冲激响应 $h[n]$ 具有无限非零值。通常通过递归方式实现。
滤波器设计方法：
- 冲激响应不变法：用于将模拟滤波器转换为数字滤波器。其基本思想是使数字滤波器的冲激响应 $h[n]$ 与采样后的模拟滤波器冲激响应 $h_a(nT)$ 对应。
- 缺点：此方法会引起频谱混叠，且不能用于设计高通和带阻滤波器。双线性变换法可以解决这些问题。