7. 拉普拉斯变换及其应用

# 拉普拉斯变换 (LT) 的基本概念

# 定义与傅里叶变换 (FT) 的关系

• 定义：拉普拉斯变换 $L\{x(t)\}$ 将时域信号 $x(t)$ 转换到复频域 $s$ 平面上的函数 $X(s)$，其表达式为：

  $$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt,\ \text{其中}\ s=\sigma+j\omega$$

• 与傅里叶变换的关系：
  • 傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例，即当 $s$ 的实部 $\sigma=0$ 时。
  • 形象地说，$L\{x(t)\}$ 等同于对时域信号 $x(t)e^{-\sigma t}$ 进行傅里叶变换，即 $L\{x(t)\}=F\{x(t)e^{-\sigma t}\}$。
  • 拉普拉斯变换可以被解释为将时域信号与各种复指数信号相乘，然后对乘积进行傅里叶变换，并将每个频谱纵向插入 $s$ 平面。

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# 收敛域 (ROC)

• 收敛条件：拉普拉斯变换收敛的必要条件是 $x(t)e^{-\sigma t}$ 绝对可积。
• 收敛域定义：能够使信号的拉普拉斯变换收敛的 $s$ 值取值范围，被称为该变换的收敛域 (ROC)。
• 存在性：只要信号 $x(t)$ 随 $t$ 的增长速度不超过指数阶，则其拉普拉斯变换一定存在。
• 重要性：拉普拉斯变换的表达式与收敛域共同决定了唯一的原始时域信号。
• 与傅里叶变换的关系：当拉普拉斯变换的收敛域包含虚轴（即 $\sigma=0$）时，该信号的傅里叶变换也存在。
• 双边变换的 ROC：对于双边拉普拉斯变换（在整个时间区间 $[-\infty, \infty]$ 上进行），同一信号在不同时间范围内的收敛域可以是垂直线左侧、右侧、带状区域，或者不存在。

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# 逆变换

• 一般形式：拉普拉斯逆变换的一般形式为：

  $$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds$$

  其中积分路径是在收敛域内部沿着任何一条平行于虚轴的直线，从负无穷积分到正无穷。
• 物理意义：拉普拉斯逆变换将时域信号 $x(t)$ 分解为一系列复指数信号的线性组合，其中每个复指数分量的权系数是 $\frac{1}{2\pi j}X(s)ds$。这些复指数信号的幅度会随时间衰减或增长。

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# 单边拉普拉斯变换

• 定义：单边拉普拉斯变换主要针对因果信号，其积分下限为 $0^-$。

  $$L_u\{x(t)\}=X(s)=\int_{0-}^{\infty}x(t)e^{-st}dt,\ \text{其中}\ s=\sigma+j\omega$$

• 与双边变换的关系：对于因果信号，单边和双边拉普拉斯变换是等价的，且它们的逆变换表达式相同。
• 单边变换的 ROC：
  • 单边拉普拉斯变换的收敛域肯定是 $s$ 平面上某条竖线的右侧或整个平面。
  • 如果一个信号是有限长度的且绝对可积，则其拉普拉斯变换的收敛域包含整个 $s$ 平面。
  • 多个信号线性组合的拉普拉斯变换的收敛域是各信号各自变换收敛域的交集。
• 有理变换的极点与零点：
  • 已知一个有理拉普拉斯变换的零极点图，其表达式（除常数因子外）完全确定。
  • 如果一个信号是因果的，且其拉普拉斯变换是有理函数形式，则收敛域就是最右边极点的右侧。

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# 单边拉普拉斯变换的性质

性质	时域表达式	变换域表达式
线性	$ax_1(t)+bx_2(t)$	$aX_1(s)+bX_2(s)$
卷积	$x(t)*y(t)$	$X(s)Y(s)$
时域微分	$L_u\{x^\prime(t) \}$	$sX(s)-x(0^-)$
高阶时域微分	$L_u\{x^{(n)}(t) \}$	$s^nX(s)-s^{n-1}x(0^-)-s^{n-2}x^\prime(0^-)-...-x^{(n-1)}(0^-)$
时域积分	$L_u\{\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau \}$	$\frac{1}{s}X(s)+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{0^-}x(\tau)d\tau$
因果信号积分	$L_u\{\int_{-\infty}^tx(\tau)u(\tau)d\tau \}$	$\frac{1}{s}X(s)$
$s$ 域微分	$tx(t)$	$-X^\prime(s)$
$s$ 域积分	$\frac{x(t)}{t}$	$\int_{s}^{\infty}X(p)dp$
尺度变换	$L_u\{x(at) \}, a>0$	$\frac{1}{a}X(\frac{s}{a})$
时移	$L_u\{x(t-\tau) \}, \text{若} x(t-\tau)u(t)=x(t-\tau)u(t-\tau)$	$e^{-s\tau}X(s)$
频移	$L_u\{e^{pt}x(t) \}$	$X(s-p)$

• 初值定理：如果 $x(t)$ 为因果信号且在 $t=0$ 处不含任何冲激或高阶奇异函数，则：

  $$x(0^+)=\lim_{s\rightarrow\infty}sX(s)$$

• 终值定理：如果 $X(s)$ 所有的极点都在 $s$ 平面的左半平面，且最多在 $s=0$ 处有一个单极点，则：

  $$x(\infty)=\lim_{s\rightarrow0}sX(s)$$

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# 常用单边拉普拉斯变换对

时域信号 $x(t)$ ($t \ge 0$)	变换域 $X(s)$
$1$	$\frac{1}{s}$ ($s\ne0$)
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$t^ne^{at}$	$\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$
$\sin(kt)$	$\frac{k}{s^2+k^2}$
$\cos(kt)$	$\frac{s}{s^2+k^2}$
$\delta(t)$	$1$
$\delta(t-t_0)$	$e^{-t_0s}$
$\delta^{(k)}(t)$	$s^k$

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# 有理函数形式的逆变换求解

• 方法一：围线积分：

  $$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds$$

  • 利用留数定理进行计算。留数计算公式如下：
    • 一阶极点 $a$：$Res[f(z),a]=\lim_{s\rightarrow a}(s-a)f(s)$
    • $m$ 阶极点 $a$：$Res[f(z),a]=\lim_{s\rightarrow a}\frac{1}{(m-1)!}[\frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}}(s-a)^mf(s)]$
• 方法二：部分分式展开：
  1. 如果 $X(s)$ 是假分式，先用长除法将其变为真分式。
  2. 对分母进行因式分解。
  3. 对于共轭复数极点，可以合并处理以避免复数计算。
  4. 最终的时域信号由冲击函数、多项式、指数函数和三角函数等组成。注意：因果信号的逆变换结果需要乘以单位阶跃函数 $u(t)$。

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# 拉普拉斯变换的应用

# 求解微分方程

• 适用范围：常系数线性微分方程，并提供系统的初始条件，例如 $y(0^-), y^\prime(0^-), ...$。

  $$\sum_k a_k\frac{d^k}{dt^k}y(t)=\sum_k b_k\frac{d^k}{dt^k}x(t)$$

• 求解步骤：
  1. 对微分方程两边同时进行单边拉普拉斯变换。
  2. 对变换后的代数方程进行整理，解出 $Y(s)$。
  3. 对 $Y(s)$ 进行拉普拉斯逆变换，得到时域解 $y(t)$。
• 全响应的分解：
  • 零状态响应 + 零输入响应：

    $$Y(s)=\underbrace{\frac{B(s)X(s)}{A(s)}}_{\text{零状态响应}}+\underbrace{\frac{C(s)}{A(s)}}_{\text{零输入响应}}$$

  • 自由响应 + 强迫响应：

    $$Y(s)=\underbrace{\sum\frac{B_k}{s+A_k}}_{\text{自由响应}}+\underbrace{\frac{\text{常数}}{s-\text{激励极点}}}_{\text{强迫响应}}$$

    自由响应由系统固有的极点决定，强迫响应由激励信号的极点决定。

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# 分析电路

• 步骤：
  1. 将电路中的电阻、电感、电容等元器件转换为其在 $s$ 域的等效模型。
     • 电阻：$V_R(s)=RI_R(s)$
     • 电感：$V_L(s)=sLI_L(s)-Li_L(0^-)$
     • 电容：$V_C(s)=\frac{1}{sC}I_C(s)+\frac{v_C(0^-)}{s}$
  2. 利用基尔霍夫电压定律 (KVL) 和基尔霍夫电流定律 (KCL) 在 $s$ 域列写方程。
  3. 化简方程，求出所求响应的拉普拉斯变换 $Y(s)$。
  4. 对 $Y(s)$ 进行逆变换，得到时域响应 $y(t)$。

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# 研究 LTI 系统的性质

• 系统函数（传递函数）$H(s)$：
  • 对于零初始条件的线性常系数微分方程所描述的系统，其系统函数定义为输出响应 $Y(s)$ 与输入激励 $X(s)$ 的比值：

    $$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

  • 系统函数与冲激响应的关系：$H(s)$ 是系统冲激响应 $h(t)$ 的拉普拉斯变换。
  • 系统函数与微分方程的关系：如果系统由微分方程 $\sum_k a_k\frac{d^k}{dt^k}y(t)=\sum_k b_k\frac{d^k}{dt^k}x(t)$ 描述且初始条件为零，则 $H(s)=\frac{\sum b_ks^k}{\sum a_ks^k}$。

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# 互联系统的系统函数

• 并联：$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$
• 串联：$H(s)=H_1(s)H_2(s)$
• 负反馈：$H(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}$

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# 由 $H(s)$ 的零极点分布决定系统特性

• 时域特性：
  • 极点位置：
    • 左半平面极点：系统冲激响应分量随时间衰减。
    • 虚轴上一阶极点：对应等幅振荡或常数，系统临界稳定。
    • 右半平面极点或虚轴上高阶极点：冲激响应分量随时间增长。
  • 零点分布：零点不影响冲激响应的变化趋势（衰减、振荡或增长），但会影响其幅度和相位。
• 因果性：对于有理系统函数 $H(s)$，系统因果的充要条件是其收敛域位于最右侧极点的右侧。
• 稳定性：
  • BIBO 稳定：系统的拉普拉斯变换收敛域包含虚轴。
  • 因果+稳定：系统的所有极点都在左半平面（不含虚轴）。

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# LTI 系统的频率响应

• 定义：系统的频率响应 $H(j\omega)$ 是系统函数 $H(s)$ 在虚轴上的取值，即 $H(j\omega)=H(s)|_{s=j\omega}$。但需要注意，只有当 $H(s)$ 的收敛域包含虚轴时，频率响应才存在。
• 极点和零点与频率响应的关系：
  • $H(j\omega)=\frac{K\Pi_k(j\omega-z_k)}{\Pi_k(j\omega-p_k)}$。
  • 极点增强其附近频率的增益，零点抑制其附近频率的增益。
  • 滤波器设计可以利用零极点的这种特性。

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# 模拟滤波器设计

• 设计步骤：
  1. 找到一个能用稳定因果系统的有理系统函数来近似特定频率响应的数学模型（如巴特沃斯滤波器）。
  2. 已知幅度响应，构造 $H(s)H(-s) = |H(j\omega)|^2|_{j\omega=s}$。
  3. 从 $H(s)H(-s)$ 的所有零极点中，选取位于左半平面的零极点来构造因果稳定的系统函数 $H(s)$。
• 频率变换：
  • 低通到高通：$s \to \frac{\omega_c}{s}$，其中 $\omega_c$ 为截止频率。
  • 低通到带通：$s \to \frac{s^2+\omega_0^2}{Bs}$，其中 $\omega_0$ 为中心频率， $B$ 为带宽。