6. 傅里叶变换及其应用

# 滤波

# 信号传输的无失真条件

无失真传输是指信号在传输过程中，其波形保持不变，仅可能存在幅度的增益/衰减和时间上的延迟。

1. 无失真传输关系式
   时域表达式：

   $$y(t)=kx(t-t_0)$$

   频域表达式：

   $$H(j\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=ke^{-j\omega t_0}$$

   其中，幅频特性 $|H(\omega)| = k$ 为常数，相频特性 $\phi(\omega) = -\omega t_0$ 与频率呈线性关系。

2. 群延时
   群延时 $\tau$ 表示不同频率分量通过系统的时间延迟，其定义为：

   $$\tau=-\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}=t_0$$

   在无失真传输中，群延时为常数 $t_0$，这意味着所有频率分量都延迟相同的时间。

3. 信道均衡
   当信道 $H_c(j\omega)$ 存在失真时，可以通过串联一个均衡器 $H_{eq}(j\omega)$ 来抵消信道的非线性特性，实现无失真传输。

   $$H_c(j\omega)H_{eq}(j\omega)=ke^{-j\omega t_0}$$

4. 消除多径失真
   多径效应是一种常见的信道失真，其时域模型为 $y(t)=x(t)+ax(t-T)$。对应的频域信道特性为：

   $$H_c(\omega)=1+ae^{-j\omega T}$$

   设计均衡器时，使其特性为 $H_{eq}(\omega) = \frac{1}{1+ae^{-j\omega T}}$，通过泰勒级数展开可得其冲激响应：

   $$H_{eq}(\omega)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^na^ne^{-jn\omega T}$$

   $$h_{eq}(t)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^na^n\delta(t-nT)$$

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# 滤波器：实现信号分离

滤波器用于从混合信号中分离出特定频率范围的信号。

1. 理想低通滤波器
   理想低通滤波器的频率响应为：

   $$H(j\omega)=I_{|\omega|<\omega_c}e^{-j\omega t_0}$$

   其时域冲激响应 $h(t)$ 为：

   $$h(t)=\frac{\sin(\omega_c(t-t_0))}{\pi(t-t_0)}=\frac{\omega_c}{\pi}\text{sinc}(\frac{\omega_c}{\pi}(t-t_0))$$

   其中，$\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。

2. 矩形脉冲通过理想低通滤波器的传输
   当一个矩形脉冲 $x(t)=I_{|t|\le\frac{T_0}{2}}$ 通过理想低通滤波器时，其输出 $y(t)$ 为输入与冲激响应的卷积：

   $$y(t)=x(t)*h(t)=\frac1\pi\left[\text{Si}\left(\omega_c\left(t-t_0+\frac {T_0}2\right)\right)-\text{Si}\left(\omega_c\left(t-t_0-\frac {T_0}2\right)\right)\right]$$

3. 正弦/余弦积分函数
   在处理信号时，常遇到正弦积分函数 $\text{Si}(x)$ 和余弦积分函数 $\text{Ci}(x)$：

   $$\text{Si}(x)=\int_0^x\frac{\sin\lambda}\lambda d\lambda$$

   $$\text{Ci}(x)=-\int_x^\infty\frac{\cos \lambda}\lambda d\lambda$$

4. 吉布斯现象
   对具有第一类间断点的信号（如矩形脉冲）进行频谱截断（即通过理想低通滤波器），会在信号的间断点附近产生过冲和振荡，这就是吉布斯现象。

   • 当 $\omega_c < 2\pi/T_0$ 时，输出脉冲形状严重失真，有较长的拖尾，幅度明显衰减。上升和下降时间 $t_r=2\pi/\omega_c$。
   • 当 $\omega_c > 2\pi/T_0$ 时，输出在上升沿前后出现振荡，峰值过冲高度为 $\frac{1}{\pi}\text{Si}(\pi)+0.5 \approx 1.09$，过冲约为 $9\%$，且与 $\omega_c$ 无关。

5. 系统的物理可实现性
   一个系统要物理可实现，其冲激响应 $h(t)$ 必须满足以下条件：

   • 时域因果性：$h(t)=0, t<0$。
   • 频域Paley-Wiener（P-W）条件（必要条件）：系统的幅频响应不能在有限频带内持续为零，且衰减速度不能比指数阶快。\int_{-\infty}^\infty\frac{|\ln| H(\omega)||}}{1+\omega^2}d\omega<\infty

6. 实际滤波器设计
   实际滤波器通常用以下参数来衡量其性能：

   • 通带容差 $\delta_p$ 和通带截止频率 $\omega_p$。
   • 阻带容差 $\delta_s$ 和阻带截止频率 $\omega_s$。

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# 匹配滤波器：实现信号检测

匹配滤波器用于在有加性白噪声背景下，最大化信号与噪声功率比，从而实现信号的最佳检测。

1. 加性白噪声背景
   考虑信号 $s(t)$ 叠加高斯白噪声 $n(t)$ 后通过滤波器 $H(j\omega)$。

   $$s(t)+n(t)\longrightarrow H(j\omega)\longrightarrow s_0(t)+n_0(t)$$

   白噪声的自相关函数为 $R_n(\tau)=N\delta(\tau)$，其功率谱密度为 $N(\omega)=N$（常数）。

2. 信号瞬时功率
   滤波器输出信号在某个特定时刻 $t_0$ 的瞬时功率为：

   $$s_0^2(t_0)=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty H(j\omega)S(j\omega)e^{j\omega t_0}d\omega\right|^2$$

3. 噪声平均功率
   滤波器输出噪声的平均功率为：

   $$\sigma_0^2=R_{n_0}(0)=\frac N{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|H(j\omega)|^2d\omega$$

4. 匹配滤波器
   匹配滤波器旨在最大化信噪比 $\rho = \frac{s_0^2(t_0)}{\sigma_0^2}$。其最佳频率响应为 $H(j\omega)=kS^*(j\omega)e^{-j\omega t_0}$，其中 $S(j\omega)$ 是输入信号的傅里叶变换。其冲激响应为：

   $$h(t)=ks^*(t_0-t)$$

   最大信噪比为 $\rho_{max} \le \frac{1}{2\pi N}\int_{-\infty}^\infty|S(j\omega)|^2d\omega$。

5. 匹配滤波与相关运算的等价性
   匹配滤波器的输出信号 $s_0(t)$ 是输入信号 $s(t)$ 与匹配滤波器冲激响应 $h(t)$ 的卷积：

   $$s_0(t) = s(t)*h(t) = s(t)*ks^*(t_0-t) = k\int_{-\infty}^\infty s(\tau)s^*(t_0-(t-\tau))d\tau = kR_s(t-t_0)$$

   因此，匹配滤波器的输出是输入信号的自相关函数 $R_s(t)$，在 $t=t_0$ 处达到峰值。

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# 调制

调制是将基带信号的频谱搬移到高频，以便于传输。

1. 调制定理
   调制定理描述了时域信号乘以复指数函数后，其频谱的变化。

   $$x(t)e^{j\omega_0t}\longleftrightarrow X(j(\omega-\omega_0))$$

   即信号频谱在频域上向右平移 $\omega_0$。

2. 双边带抑制载波调制（DSB-SC）

   • 调制
     将基带信号 $x(t)$ 乘以载波 $\cos(\omega_0t)$：

     $$y(t)=x(t)\cos(\omega_0t)$$

     其频谱为基带信号频谱的左右平移和幅度减半：

     $$Y(j\omega)=\frac12[X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0))]$$

     为避免频谱混叠，需满足 $\omega_0 \ge \omega_m$（$\omega_m$ 为基带信号的最高频率）。
   • 解调
     将已调信号 $y(t)$ 再次乘以载波 $\cos(\omega_0t)$，然后通过低通滤波器：

     $$w(t)=y(t)\cos(\omega_0t)$$

     通过一个截止频率 $\omega_d$ 的理想低通滤波器，即可恢复原信号，且需满足 $\omega_m \le \omega_d \le 2\omega_0-\omega_m$。

3. 全调幅（AM）与包络检波解调

   • 全调幅信号的频谱
     在基带信号 $x(t)$ 上叠加一个直流分量 $A$，再进行调制，以保证 $x(t)+A > 0$：

     $$y(t)=(x(t)+A)\cos(\omega_0 t)$$

     其频谱在DSB-SC的基础上，增加了位于 $\pm \omega_0$ 处的两个载波分量：

     $$Y(j\omega)=\frac12[X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0))]+\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$$

   • 包络检波解调
     当载波频率远高于基带信号的最高频率时，已调信号的峰值连接形成包络，该包络是原信号的良好近似。可以使用简单的半波整流电路实现包络检波，从而恢复原信号。

4. 希尔伯特变换与单边带调制（SSB）

   • 希尔伯特变换
     希尔伯特变换 $\hat f(t)$ 是将信号 $f(t)$ 的所有频率分量都进行 $-90^\circ$ 相移。

     $$\hat f(t)=f(t)*\frac{1}{\pi t}$$

     其频域表现为：

     $$\mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\}=-j\text{sgn}(\omega)=e^{-j\frac\pi2\text{sgn}(\omega)}$$

     注意： 对于因果函数，其傅里叶变换的实部和虚部存在相互约束关系，可以通过希尔伯特变换相互推导。
   • 单边带信号
     通过希尔伯特变换，可以产生单边带信号。这是一种频谱效率更高的调制方式，通过在频域上将信号的一侧（上边带或下边带）截去，只保留另一侧进行传输。

5. 调频（FM）与调相（PM）

   • 调相（PM）：载波的瞬时相位随调制信号 $g(t)$ 呈线性变化。

     $$s_{PM}(t)=A\cos(\omega_ct+k_p g(t))$$

   • 调频（FM）：载波的瞬时频率随调制信号 $g(t)$ 呈线性变化。

     $$\omega_i(t)=\omega_c+k_f g(t)$$

     其中，载波的相位是载波瞬时频率的积分。

     $$s_{FM}(t)=A\cos\left[\omega_ct+\int_0^t k_f g(\tau) d\tau\right]$$

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# 采样

采样是将连续信号转换为离散信号的过程，是信号数字化处理的基础。

1. 理想采样

   • 频域
     根据采样定理，若信号的最高频率为 $\omega_H$，则采样频率 $\omega_s$ 必须大于 $2\omega_H$，即 $\omega_s \ge 2\omega_H$，才能无失真恢复原信号。
     采样信号的频谱是原信号频谱以 $\omega_s$ 为周期进行周期延拓。

     $$X_s(j\omega)=\frac1{T_s}\sum_{k=0}^\infty X[j(\omega-k\omega_s)]$$

     重构滤波器是一个理想低通滤波器，其频率响应为：

     $$H(j\omega)=I_{|\omega|\le\omega_s/2}T_s$$

   • 时域
     理想采样的重构是在时域上将采样值与一个sinc函数进行卷积，从而恢复原信号。

     $$x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)h(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)\frac{\sin(\frac{\omega_s}2(t-nT_s))}{\pi(t-nT_s)}$$

2. 零阶抽样保持

   • 时域
     零阶抽样保持是用一个宽度为 $T_s$ 的矩形脉冲来近似理想采样脉冲，其冲激响应为 $h_0(t)=I_{0\le t\le T_s}$。

     $$x_0(t)=h_0(t)*x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)h_0(t-nT_s)$$

   • 频域
     零阶抽样保持的频率响应为：

     $$H_0(j\omega)=2e^{-j\omega T_s/2}\frac{\sin(\omega T_s/2)}{\omega}$$

   • 与原信号的变化
     与理想采样相比，零阶抽样保持存在以下问题：

     • 线性相移：引入了线性相移 $e^{-j\omega T_s/2}$，相当于时延 $T_s/2$。
     • 频谱失真：由于 $H_0(j\omega)$ 主瓣的弯曲，信号频谱会产生部分失真。
     • 像的残留：由于 $H_0(j\omega)$ 在 $\pm\omega_s, \pm2\omega_s, \dots$ 处的旁瓣不为零，复制的频谱像无法完全滤除，会造成残留。

   • 零阶抽样保持的补偿
     为了弥补主瓣弯曲造成的频谱失真，可以在其后增加一级补偿滤波器，其频率响应与 $H_0(j\omega)$ 的主瓣弯曲呈倒数关系，从而拉平整个系统的频率响应。

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# 多路复用

多路复用是将多个信号共享一个信道进行传输的技术。

1. 频分复用（FDM）

   • 原理：利用调制定理，将不同信号的频谱通过调制搬移到不同的载波频率上，从而占据互不重叠的频段。
   • 特点：每个信号在频域上被分配了独立的频带，从而避免了相互干扰。

2. 时分复用（TDM）

   • 原理：利用采样定理，将每个信号进行采样，然后将不同信号的采样脉冲按时间顺序交替发送，在同一个信道上共享不同的时间片。
   • 特点：每个信号的传输只占据信道的一部分时间，通过轮流交替的方式实现多路信号的传输。

3. 码分复用（CDM）

   • 原理：利用匹配滤波器的相关性，为每个信号分配一个独特的、具有良好互相关性能的码序列 $c(t)$，发送端将消息信号与码序列相乘，接收端再与各自的码序列进行匹配滤波（相关运算），从而从混合信号中提取出各自的消息信号。
   • 特性：
     • 不同码序列的互相关性应尽可能小：

       $$R_{ij}(\tau)=\frac1T\int_0^Tc_i(t)c_j(t-\tau)dt\approx I_{i=j,\ \tau=0}$$

     • 接收端通过相关运算恢复信号：

       $$y_k=\frac1T\int_0^Ts(t)c_k(t)dt=\frac1T\int_0^T\left[\sum_{i=1}^ns_i(t)c_i(t)\right]c_k(t)dt\approx s_k$$

     • 码序列的变化速率要远高于消息信号。