5. 空间与信号分析

# 信号相关函数

# 互相关函数

定义： 互相关函数用于衡量两个信号在不同时移下的相似度。

$R_{xy}(t)=\int x(\tau)y^*(\tau-t)d\tau=x(t)*y^*(-t)=\left\langle x(\tau),y(\tau-t) \right\rangle$

性质： 互相关函数具有共轭偶对称性。

$R_{xy}(t)=R_{yx}^*(-t)$

# 自相关函数

定义： 自相关函数是信号与自身在不同时移下的互相关，用于分析信号内部的周期性或规律性。

$R_{xx}(t)=\int x(\tau)x^*(\tau-t)d\tau=x(t)*x^*(-t)=\left\langle x(\tau),x(\tau-t) \right\rangle$

性质：

自相关函数具有共轭偶对称性。
$R_{xx}(t)=R_{xx}^*(-t)$
在 $t=0$ 时，自相关函数等于信号的总能量。
$R_{xx}(0)=\int |x(t)|^2dt=Energy$
自相关函数在 $t=0$ 时取得最大值。
$|R_{xx}(0)|\ge|R_{xx}(t)|$

功率有限信号（功率信号）的相关函数：
对于总能量无限的功率信号，需要使用平均功率来代替总能量进行分析。

$R_{xx}(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac1TR_T(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}x(\tau)x^*(\tau-t)d\tau$

功率：
$P=R_{xx}(0)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}x(\tau)x^*(\tau)d\tau$

# 信号的频谱分析

# 互谱密度与能谱密度

互谱密度： 互相关函数的傅里叶变换，表示两个信号在频域上的相关性。

$S_{xy}(\omega)=F[R_{xy}(t)]=X(\omega)Y^*(\omega)$

能谱密度： 自相关函数的傅里叶变换，表示信号能量在频域上的分布。

$S_{xx}(\omega)=F[R_{xx}(t)]=X(\omega)X^*(\omega)=|X(\omega)|^2$

功率谱密度： 对于功率信号，其功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。

$S_{xx}(\omega)=F[R_{xx}(t)]$

# 物理性质

根据帕塞瓦尔定理，信号总能量等于其能谱密度在整个频域上的积分。
$R_{xx}(0)=\int |x(t)|^2dt=\frac1{2\pi}\int |X(\omega)|^2d\omega$

# 线性定常系统的输入输出分析

对于一个线性定常系统，其输出信号 $y(t)$ 是输入信号 $x(t)$ 与系统冲激响应 $h(t)$ 的卷积。

$y(t)=h(t)*x(t)$

时域相关性： 输出信号的自相关函数等于系统冲激响应的自相关函数与输入信号自相关函数的卷积。
$R_{yy}(t)=R_{hh}(t)*R_{xx}(t)$
频域相关性： 输出信号的功率谱密度等于系统冲激响应的功率谱密度（或传递函数的平方）与输入信号功率谱密度的乘积。
$Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)\\ S_{yy}(\omega)=S_{hh}(\omega)S_{xx}(\omega)$

# 离散信号相关分析

离散信号的相关函数由求和代替了连续信号的积分。

能量信号：
$R_{xy}(n)=\sum x(k)y^*(k-n)\\ R_{xx}(n)=\sum x(k)x^*(k-n)$
- 自相关函数在 $n=0$ 时取得最大值。
  $|R_{xx}(0)|\ge|R_{xx}(n)|$
功率信号：
$R_{xy}(n)=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{k=-M}^Mx(k)y^*(k-n)\\ R_{xx}(n)=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{k=-M}^Mx(k)x^*(k-n)$

# 典型信号的自相关函数与能谱密度

高斯白噪声：
高斯白噪声在每个时间点上样本值都服从高斯分布，并且在所有频率上具有均匀的功率谱密度。
- 自相关函数：
  $R(t)=\sigma^2\delta(t)$
- 能谱密度：
  $S(f)=\sigma^2$
正弦信号：
- 自相关函数：
  $R(t)=\frac{A^2}{2}\cos(2\pi f_0t)$
- 能谱密度：
  $S(f)=\frac{A^2}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))$
  注意：此处 $R(t)$ 应为 $R(t)=\frac{A^2}{2}\cos(2\pi f_0t)$ 。

# 信号带宽与时宽分析

# 时域和频域中心

时中心： 信号能量在时间上的加权平均。
$\mu_t=\frac1{||x(t)||^2}\int t|x(t)|^2dt$
频中心： 信号能量在频率上的加权平均。
$\mu_\omega=\frac1{||X(j\Omega) ||}\int\Omega|X(j\Omega)|^2d\Omega$

# 时域和频域等效带宽

时等效带宽（时宽）： 信号能量在时域上的方差。
$\sigma_t^2=\frac1{||x(t)||^2}\int (t-\mu_t)^2|x(t)|^2dt$
频等效带宽（频宽）： 信号能量在频域上的方差。
$\sigma_\omega^2=\frac1{||X(j\Omega) ||}\int(\Omega-\mu_\omega)^2|X(j\Omega)|^2d\Omega$

# 不确定性原理

对于 $L^2(R)$ 空间中的信号 $x(t)$ ，且 $\lim_{|t|\rightarrow\infty}\sqrt{t}x(t)=0$ 。

海森堡不确定性原理： 时宽与频宽的乘积存在下限。
$\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$
尺度不变性： 时宽带宽积是尺度不变的，即对信号进行时间拉伸或压缩，其时宽带宽积保持不变。
$\sigma_t\sigma_\omega|_{f(t)}=\sigma_t\sigma_\omega|_{f(\alpha t)}$