4. 离散信号傅里叶分析

# 离散信号的特性

离散周期信号的周期 $N$ 必须是整数，且满足 $N = \frac{2\pi}{\omega_0} k$ ，其中 $\omega_0$ 是基波角频率， $k$ 为整数。
周期的大小与角频率的大小没有直接的关联性。
在周期为 $N$ 的情况下，可区分的正弦（或余弦、复指数）频率的数量只有 $N$ 个。

DTFT： 将离散时间信号 $x(n)$ 变换到连续频率域 $X(e^{j\omega})$ 。
$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$
DTFT 逆变换：
$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$

$X(e^{j\omega})$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数。
线性、时移、频移、卷积等性质与连续傅里叶变换类似。
共轭对称性： 若 $x(n)$ 是实信号，则 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$ ；对于一般复信号， $x^*(n) \Longleftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ 。
帕塞瓦尔定理： 能量守恒关系。
$\sum_n|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} |X(e^{j\omega})|^2d\omega$
频域运算：
- 时域差分： $x(n)-x(n-1) \Longleftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})$
- 时域累加： $\sum_{k=-\infty}^{n}x(k) \Longleftrightarrow \frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)$
- 频域求导： $-jnx(n) \Longleftrightarrow \frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}$

$x(n)=a^nu(n) \Longleftrightarrow X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$
$x(n)=I_{|n|\le M} \Longleftrightarrow X(e^{j\omega})=\frac{\sin\frac{2M+1}{2}\omega}{\sin\frac{\omega}{2}}$
$X(e^{j\omega})=I_{|\omega|\le W} \Longleftrightarrow x(n)=\frac{W}{\pi}Sa(Wn)$
$x(n)=\delta(n) \Longleftrightarrow X(e^{j\omega})=1$
$x(n)=1 \Longleftrightarrow X(e^{j\omega})=2\pi\sum_k\delta(\omega-2\pi k)$

$DTFT\left[\sum_k\delta(n-kN)\right] = \frac{2\pi}{N}\sum_k\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)$

若离散信号 $x(n)$ 是由连续信号 $x_a(t)$ 以采样周期 $T$ 采样得到，即 $x(n)=x_a(nT)$ ，则：
$X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a\left(\frac\omega T-\frac{2\pi}{T}k\right)$
其中， $\omega = \Omega T$ ， $X_a(\Omega)$ 是连续信号 $x_a(t)$ 的CTFT。
当满足采样定理（即 $X_a(\Omega)$ 在 $| \Omega | > \pi/T$ 时为0），上述关系简化为：
$X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}X_a(\frac\omega T)$
这表明 DTFT 频谱是连续信号频谱的周期延拓和幅度缩放。

DFT： 将有限长离散序列 $x(n)$ 变换到离散频率序列 $X(k)$ 。
$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi k}{N}n},\quad k=0,1,\dots,N-1$
DFT 逆变换：
$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi k}{N}n},\quad n=0,1,\dots,N-1$

当信号为长度为 $N$ 的有限序列时，DFT 结果 $X(k)$ 是其 DTFT 频谱 $X(e^{j\omega})$ 在离散频率点 $\omega_k = \frac{2\pi k}{N}$ 上的采样值。
$X(k)=X(e^{j\omega})\big|_{\omega_k=\frac{2\pi k}{N}}$
DTFT 频谱可以通过 DFT 结果进行重构：
$X(e^{j\omega}) = \sum_{k=0}^{N-1}X(k)\varphi(\omega-\frac{2\pi k}{N})$
其中， $\varphi(\omega)=\frac{1}{N}e^{-j\frac{N-1}{2}\omega}\frac{\sin \frac{N\omega}{2}}{\sin \frac{\omega}{2}}$ 。