3. 连续信号傅里叶分析

# 系统特征分析

# 特征函数与特征值

对于一个线性时不变（LTI）系统 $T$，其特征函数是 $s(u)$，对应的特征值是 $\lambda$，满足以下关系：

$$T(s(u))=\lambda s(u)$$

其中，典型的特征函数是复指数信号 $e^{j\omega t}$ 和 $z^n$，对应的特征值分别是系统的频率响应 $H(\omega)$ 和 $H(z)$。

连续时间系统：

• 输入 $e^{j\omega t}$，输出 $y(t) = H(\omega)e^{j\omega t}$，其中 $H(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$。
• 输入 $e^{st}$（$s=a+j\omega$），输出 $y(t) = H(s)e^{st}$，其中 $H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{-s \tau}d\tau$。

离散时间系统：

• 输入 $e^{j\omega n}$，输出 $y[n] = H(e^{j\omega})e^{j\omega n}$，其中 $H(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]e^{-j\omega n}$。
• 输入 $z^n$，输出 $y[n] = H(z)z^n$，其中 $H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]z^{-n}$。

# 频率响应的性质

连续信号频率响应：

• 对于实数脉冲响应 $h(t)$，频率响应 $H(\omega)$ 的性质为：
  • $H(-\omega) = H^*(\omega)$（共轭对称）
  • $|H(\omega)| = |H(-\omega)|$（幅度为偶函数）
  • $\varphi(\omega) = -\varphi(-\omega)$（相位为奇函数）
• 当输入为一系列复指数信号的叠加时，输出为：
  • 若 $x(t)=\sum_{k=-M}^{M}c_ke^{j\omega_k t}$，则 $y(t)=T(\sum_{k=-M}^{M}c_ke^{j\omega_k t})=\sum_{k=-M}^{M}c_kH(\omega_k)e^{j\omega_k t}$。
• 当输入为一系列正弦/余弦信号的叠加时，输出为：
  • 若 $x(t)=\sum_{k=0}^M a_k\cos(\omega_kt)+b_k\sin(\omega_kt)$，则 $y(t)=\sum_{k=0}^M|H(\omega_k)| \{a_k\cos(\omega_kt+\varphi(\omega_k))+b_k\sin(\omega_kt+\varphi(\omega_k))\}$。
• 当输入为一般信号时，输出为：
  • 若 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$，则 $y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)H(\omega)e^{j\omega t}d\omega$。

离散信号频率响应：

• 对于实数脉冲响应 $h[n]$，频率响应 $H(e^{j\omega})$ 的性质为：
  • $H(e^{-j\omega}) = H^*(e^{j\omega})$（共轭对称）
  • $|H(e^{j\omega})| = |H(e^{-j\omega})|$（幅度为偶函数）
  • $\varphi(\omega) = -\varphi(-\omega)$（相位为奇函数）
• 当输入为一系列复指数信号的叠加时，输出为：
  • 若 $x[n]=\sum_{k=-M}^{M}c_ke^{j\omega_k n}$，则 $y[n]=\sum_{k=-M}^{M}c_kH(e^{j\omega_k})e^{j\omega_k n}$。
• 当输入为一系列正弦/余弦信号的叠加时，输出为：
  • 若 $x[n]=\sum_{k=0}^M a_k\cos(\omega_kn)+b_k\sin(\omega_kn)$，则 $y[n]=\sum_{k=0}^M|H(e^{j\omega_k})| \{a_k\cos(\omega_kn+\varphi(\omega_k))+b_k\sin(\omega_kn+\varphi(\omega_k))\}$。

---

# 傅里叶级数

# 基础概念

• 可积函数集合
  • $L^1[t_0,t_\alpha] = \{f(t) | \int_{t_0}^{t_\alpha}|f(t)|dt<\infty \}$（绝对可积）
  • $L^2[t_0,t_\alpha] = \{f(t) | \int_{t_0}^{t_\alpha}|f(t)|^2dt<\infty \}$（平方可积）
• 内积与范数
  • 连续信号：
    • 内积：$\left\langle f(t),g(t) \right\rangle=\int_{t_0}^{t_\alpha}f(t)g^*(t)dt$
    • 范数：$\lVert f(t)\rVert_2=\left\langle f(t),f(t) \right\rangle^{1/2}$
  • 离散信号：
    • 内积：$\left\langle x[n],y[n] \right\rangle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^*[n]$
    • 范数：$\lVert x[n]\rVert_2=\left\langle x[n],x[n] \right\rangle^{1/2}$
• 完备正交函数集
  • 正交性： $\left\langle \varphi_i(t),\varphi_j(t) \right\rangle=K_i\delta_{ij}$
  • 完备性： 对于任意 $f(t)\in L^2[t_0,t_\alpha]$，可以表示为 $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\varphi_n(t)$。
  • 系数计算： $c_k=\frac{\left\langle f(t),\varphi_k(t) \right\rangle}{\left\langle \varphi_k(t),\varphi_k(t) \right\rangle}$
• 狄利克雷（Dirichlet）条件
  • 函数 $f(t)$ 必须在周期 $[t_0,t_0+T]$ 内绝对可积。
  • 在周期内，函数必须只有有限个极大值、极小值和第一类间断点。

# 傅里叶级数的形式

• 傅里叶级数的使用范围：
  • $f(t)$ 在一个周期 $[t_0,t_0+T]$ 内绝对可积。
  • 或对其进行周期延拓后得到的周期函数。

1. 三角函数形式

• 完备正交集： $\{1, \cos(\omega t), \sin(\omega t), \cos(2\omega t), ... \}$。
• 正交性： $\left\langle \varphi_i(t),\varphi_j(t) \right\rangle=\frac T2\delta_{ij}$。
• 级数表达式：
  • $f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t))$
  • 或 $f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos(n\omega t-\phi_n)=d_0+\sum_{n=1}^{\infty}d_n\sin(n\omega t+\theta_n)$
• 系数公式：
  • $a_0=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt$
  • $a_n=\frac2T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omega t)dt$
  • $b_n=\frac2T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)dt$

2. 指数形式

• 完备正交集： $\{e^{jn\omega t} \}_{n=-\infty}^{\infty}$。
• 正交性： $\left\langle \varphi_m(t),\varphi_n(t) \right\rangle=T\delta_{mn}$。
• 级数表达式： $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega t}$
• 系数公式： $F_n=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega t}dt$
• 实信号性质： 对于实信号 $f(t)$，系数满足 $F_{-n}=F_n^*$。
• 与三角函数形式的关系：
  • $F_0=a_0$
  • $F_n=\frac12(a_n-jb_n)$

# 傅里叶级数的谱与性质

• 傅里叶级数的谱： 可列的、无穷多条线状谱，横坐标为 $n\omega$，代表信号的频率。
• 对称性： 当 $f(t)$ 是偶函数或奇函数时，傅里叶级数系数具有相应的对称性。

# 相关定理

• 帕塞瓦尔（Parseval）定理（内积不变性）：
  • $\left\langle f(t),g(t) \right\rangle=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)g^*(t)dt=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_nG_n^*$
• 能量定理：
  • $\int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|^2dt=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2$
• 均方收敛性：
  • $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)-\sum_{n=-N}^{N}F_ne^{jn\omega t}|^2dt=0$
• 吉布斯（Gibbs）现象：
  • 在第一类间断点处，傅里叶级数不一致收敛，且在间断点附近会出现超调现象。

---

# 傅里叶变换

# 定义与基本结论

傅里叶变换可看作傅里叶级数在周期 $T\rightarrow\infty$ 时的极限。此时，离散的线状谱变为连续的谱，谱强度变为谱密度。

• 傅里叶变换： $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
• 傅里叶逆变换： $F^{-1}\{F(\omega)\}=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

常用变换对：

• $F[\delta(t)]=1$
• $F[1]=2\pi\delta(\omega)$
• $F[u(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$
• $F[sgn(t)]=\frac2{j\omega}$
• $F[u(t+\tau)-u(t-\tau)]=2\tau Sa(\omega\tau)=2\tau sinc(2f\tau)$
• $F[u(t+\tau)-u(t-\tau)]*[u(t+\tau)-u(t-\tau)]=4\tau^2Sa^2(\omega\tau)$（注：此为定义在 $[-2\tau,2\tau]$，峰值为 $2\tau$ 的三角脉冲函数）
• $F[e^{-\alpha t}u(t)]=\frac{1}{\alpha+j\omega},\ (\alpha>0)$
• $F[e^{-\alpha|t|}]=\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} ,\ (\alpha>0)$
• $F[e^{-at^2}]=\sqrt{\frac\pi a} e^{-\frac{\omega^2}{4a}}$

# 傅里叶变换性质

• 对偶性： $F[F(t)]=2\pi f(-\omega)$
• 共轭对称性： $F[f^*(t)]=F^*(-\omega)$
  • 注： 对于实函数 $f(t)$，其傅里叶变换的幅度是偶对称的，相位是奇对称的。
• 尺度变换： $F[f(kt)]=\frac1{|k|}F(\frac\omega k)$
• 时移特性： $F[f(t-\tau)]=e^{-j\omega\tau}F(\omega)$
• 频移特性： $F[f(t)e^{j\omega_0 t}]=F(\omega-\omega_0)$
• 微分特性： $F[f'(t)]=j\omega F(\omega)$
• 积分特性： $F[\int f(t)dt]=\frac1{j\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)$
• 卷积定理： $F[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)F_2(\omega)$
• 时域相乘定理： $F[f_1(t)f_2(t)]=\frac1{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$

# 其他重要概念

• 矩定理：
  • $m_n=\int_{-\infty}^{\infty}t^nf(t)dt$
  • $F^{(n)}(0)=(-j)^nm_n$
• 周期信号的傅里叶变换：
  • 由于周期信号不满足绝对可积条件，其傅里叶变换包含冲击函数。
  • 首先将周期信号写为傅里叶级数：$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_0 t}$。
  • 然后进行傅里叶变换：$F[f(t)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_nF[e^{jn\omega_0 t}]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\delta(\omega-n\omega_0)$。
• 理想采样序列： $\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$
• 泊松（Poisson）求和公式： $\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jn\omega_s t}=T_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$
• 理想采样序列的傅里叶变换：
  • $F[\delta_T(t)]=\delta_\omega(\omega)=\omega_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\omega_s)$

---

# 采样理论

# 一般采样

• 采样过程： $f_s(t)=f(t)p(t)$，其中 $p(t)$ 是周期采样信号。
• 频域表示： $F_s(\omega)=F(\omega)*P(\omega)$
• 结果： 信号的频谱以采样频率 $\omega_s$ 为周期进行平移，并乘以周期采样信号的傅里叶级数系数 $P_n$。

# 理想冲击采样

• 当采样信号为理想冲击串时，其傅里叶变换为：
  • $F[\delta_T(t)]=\omega_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\omega_s)$
• 采样后信号的频谱：
  • $F_s(\omega)=F(\omega)*[\omega_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\omega_s)] = \frac1{T_s}\sum_nF(\omega-n\omega_s)$
  • 这表明采样信号的频谱是原信号频谱以 $\omega_s$ 为周期进行叠加。

# 时域采样定理

• 定理内容： 对于一个限带信号（最高频率为 $f_\sigma$），如果采样频率 $f_s$ 大于其最高频率的两倍（即 $f_s > 2f_\sigma$），那么原信号可以由其等间隔的采样值 $f(nT_s)$ 完全恢复。
• 恢复过程：
  1. 采样后信号的频谱为 $F_s(\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_nF(\omega-n\omega_s)$。
  2. 利用一个理想低通滤波器 $H(\omega)$ 对 $F_s(\omega)$ 进行滤波，即可恢复出原信号频谱 $F(\omega)$。
  3. 时域恢复公式：$f(t)=f(t)\delta_T(t)*h(t)=\frac{B\omega_f}{\pi}\sum_nf(nT_s)Sa[\omega_f(t-nT_s)]$。

# 实际采样系统

• 实际采样系统通常由电容并联大电阻再串联一个开关组成。
• 工作原理： 当开关闭合时，电容电压跟随输入信号变化；当开关断开时，电容电压保持在采样时刻的电平，从而完成采样。