2. 系统时域分析

# LTI 系统基础

# LTI 系统的响应求解

对于线性时不变（LTI） 系统，其输出 $y(t)$ 是输入 $x(t)$ 和系统冲激响应 $h(t)$ 的卷积。

$$y[n]=x[n]*h[n]$$

卷积运算满足以下性质：

• 交换律: $f*g = g*f$
• 分配律: $f*(g+h) = f*g + f*h$
• 结合律: $(f*g)*h = f*(g*h)$

卷积的拓扑性质：

• 微分: $\frac{d}{dt}[f(t)*g(t)]=[\frac{d}{dt}f(t)]*g(t)$
• 积分: $\int_{-\infty}^{t}f(\tau)*g(\tau)d\tau=f(t)*\int_{-\infty}^{t}g(\tau)d\tau$
• 与冲激函数的卷积: $f(t)*\delta(t-\tau)=f(t-\tau)$
• 与冲激函数导数的卷积: $f(t)*\delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$
• 与阶跃函数的卷积: $f(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau$

# LTI 系统的等价性

• 并联等价: 两个并联系统的等效冲激响应是它们各自冲激响应的求和。
  • 通过系统 $h_1(t)$ 与 $h_2(t)$ 再相加，等价于通过系统 $h_1(t)+h_2(t)$。
• 级联等价: 两个级联系统的等效冲激响应是它们各自冲激响应的卷积。
  • 先后通过系统 $h_1(t)$ 与 $h_2(t)$，等价于通过系统 $h_1(t)*h_2(t)$。

# LTI 系统的特性

• 因果律的充要条件: 系统的冲激响应 $h(n)$ 满足 $h(n)=h(n)u(n)$。
• BIBO 稳定性的充要条件: 系统的冲激响应绝对可和/可积。

  $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<+\infty$$

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# LTI 系统的微分方程与差分方程解法

# 连续时间 LTI 系统的响应

连续时间 LTI 系统的响应由微分方程描述，通常分为三部分求解：

• 零输入响应（齐次解）:

  • 求解齐次微分方程：

    $$y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+...+a_1y^{(1)}(t)+a_0y^{(0)}(t)=0$$

  • 求解特征方程：

    $$\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+...+a_1\alpha^1+a_0=0$$

  • 解的形式为：

    $$y(t)=\sum_{i=1}^nA_ie^{\alpha_it}u(t)$$

    其中，系数 $A_i$ 由系统的初始状态确定，需要注意 $Y(0_-)=Y(0_+)$。

• 零状态响应（特解）:

  • 通过待定系数法求解。

• 总响应:

  • 总响应是零输入响应和零状态响应之和。
  • 将初始值代入总响应表达式，确定零输入响应的系数。

# 离散时间 LTI 系统的响应

离散时间 LTI 系统的响应由差分方程描述，求解方法包括迭代法和经典方法。

• 迭代求解
• 经典方法:
  • 齐次解:
    • 求解齐次差分方程：

      $$y(n)+a_1y(n-1)+..+a_Ny(n-N)=0$$

    • 求解特征方程：

      $$\alpha^N+a_1\alpha^{N-1}+...+a_{N-1}\alpha+a_N=0$$

    • 解的形式为：

      $$y(n)=(C_1\alpha_1^n+C_2\alpha^n_2+...+C_N\alpha^n_N)u(t)$$

  • 特解:
    • 使用多项式待定系数法求解。
  • 总响应:
    • 总响应为齐次解和特解之和。
    • 将初始值代入总响应表达式，确定齐次解的系数。

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# 逆系统与方框图表示

# 反卷积与逆系统

• 已知输出 $y[n]$ 和冲激响应 $h[n]$，求输入 $x[n]$:
  • 根据卷积关系 $y[n]=x[n]*h[n]$，可以通过找到系统的逆系统 $h^{-1}[n]$ 来求解。
  • 逆系统的定义为 $h[n]*h^{-1}[n]=\delta[n]$。
  • 因此，输入 $x[n]$ 可以通过输出 $y[n]$ 与逆系统 $h^{-1}[n]$ 的卷积得到：

    $$x[n]=y[n]*h^{-1}[n]$$

• 已知输出 $y[n]$ 和输入 $x[n]$，求冲激响应 $h[n]$:
  • 求解方法与上述类似，通过对输入进行逆卷积运算来得到冲激响应。

# 系统的方框图表示

• 基本组件: 系统的方框图由基本组件构成，例如求和器（+）、延时器（$z^{-1}$）、积分器（$\int$）等。
• 化简技巧:
  • 对于一般的线性常系数差分方程：

    $$a_0y[n]+a_1y[n-1]+...+a_Ny[n-N]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+...+b_Nx[n-N]$$

  • 可以引入中间变量 $w[n]$，将方程分解为两个部分，从而简化方框图的绘制：

    $$a_0w[n]+a_1w[n-1]+...+a_Nw[n-N]=x[n]$$

    $$y[n]=b_0w[n]+b_1w[n-1]+...+b_Nw[n-N]$$