1. 信号与系统基础

# 信号分类

• 连续时间信号与离散时间信号：根据自变量是连续的还是离散的进行区分。
• 确定性信号与非确定性信号：根据信号在任意时刻的值是否能被精确预测进行区分。
• 实信号与复信号：根据信号的取值是实数还是复数进行区分。
• 周期信号与非周期信号：根据信号是否具有重复的周期性进行区分。

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# 信号分解

# 信号分解方法

• 直流分量与交流分量
• 偶分量与奇分量：
  • 实值信号可分解为偶对称分量和奇对称分量。
  • 复值信号可分解为共轭对称分量和共轭奇对称分量。

    $$x_{cs}[n] = \frac{1}{2}[x[n] + x^*[-n]] \quad (\text{共轭对称})$$

    $$x_{ca}[n] = \frac{1}{2}[x[n] - x^*[-n]] \quad (\text{共轭奇对称})$$

• 实分量与虚分量
• 脉冲分解：

  $$x[n] = x[n] * \delta[n]$$

• 正交分解（如傅里叶（Fourier）分析）

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# 典型信号

# 连续时间信号

• 阶跃函数：$U(t)$
• 门函数：$G(t) = U(t) - U(t - t_0)$, 其中 $t_0 > 0$
• 斜升函数：$Relu(t)$
• 符号函数：$Sgn(t)$
• 高斯函数：$f(t) = Ee^{-(\frac{t}{\tau})^2}$
  • 衰减速度比任何多项式函数的倒数都快。
• 采样函数：
  • $Sa(t) = \frac{\sin t}{t}$
  • $sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$
  • 积分性质：

    $$\int_{-\infty}^{\infty} Sa(t) dt = \pi$$

    $$\int_{-\infty}^{\infty} |Sa(t)| dt = \infty$$

• 冲激函数：
  • 复指数逼近：$\delta(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega t} d\omega$
  • 广义函数定义：$\left\langle \delta(t), \phi(\tau - t) \right\rangle = \phi(\tau)$，其中 $\phi(t)$ 是一个光滑的检验函数。
  • 复合函数冲激：$\delta[f(t)] = \sum_n |f'(x_n)|^{-1} \delta(x - x_n)$，其中 $x_n$ 是 $f(t)$ 的导数非零的零点。
• 冲激偶（冲激函数的一阶导数）：
  • $\left\langle \delta'(t), \phi(\tau - t) \right\rangle = -\phi'(\tau)$
  • $n$ 阶导数：$\left\langle \delta^{(n)}(t), \phi(\tau - t) \right\rangle = (-1)^n \phi^{(n)}(\tau)$

# 离散时间信号（序列）

• 单位样值序列（单位冲激序列）
• 单位阶跃序列：当 $n=0$ 时取值为 1。
• 单位矩形序列：$p_N(n) = u(n + N) - u(n - (N+1))$
• 正弦序列：$x(n) = \sin(n\omega_0 + \phi)$ 或 $x(n) = \cos(n\omega_0 + \phi)$
• 复指数序列：$x(n) = e^{jn\omega_0}$

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# 系统

# 系统定义

• 连续时间系统：$y(t) = T\{x(t)\}$
• 离散时间系统：$y(n) = T\{x(n)\}$
• 混合系统：$y(u) = T\{x(v)\}$
• 差分算子举例：
  • 后向差分：$y[n] = \nabla x[n] = x[n] - x[n-1]$
  • 前向差分：$y[n] = \Delta x[n] = x[n+1] - x[n]$
  • 二阶差分：$y[n] = \nabla^2 x[n] = \nabla(\nabla x[n]) = x[n] - 2x[n-1] + x[n-2]$

# 系统分类

• 有无记忆：输出是否仅依赖于当前的输入。
• 线性与非线性：是否满足叠加原理和齐次性（比例原理）。
• 时变与时不变（定常）：系统的特性（参数）是否随时间变化。
• 因果与非因果：输出是否依赖于未来的输入。
• 稳定与非稳定（BIBO 稳定性）：有界的输入是否能产生有界的输出。
• 确定与非确定：系统行为是否包含随机性、混沌或不确定性。

# 输入输出描述

• SISO（单输入单输出）与MIMO（多输入多输出）
• 零状态响应：输入作用下的响应，初始状态为零。
• 零输入响应：仅由初始状态引起的响应，输入为零。
• 冲激响应：系统对单位冲激信号的响应。