9. 电子自旋

# 电子自旋的基本性质

# 磁矩与玻尔磁子

电子的磁矩由其轨道角动量和自旋角动量两部分构成。

• 轨道磁矩 $M_L$:

  $$M_L = -\frac{e}{2m_e} L$$

• 自旋磁矩 $M_S$:

  $$M_S = -\frac{e}{m_e} S, \quad S_i = \pm \frac{\hbar}{2}$$

玻尔磁子 ($M_B$) 是磁矩的最小单元：

$$M_B = \frac{e \hbar}{2 m_e}$$

当电子处于外磁场 $\vec{B}$ 中时，其磁势能为：

$$U = -M \cdot B$$

# 自旋算符与矩阵

在 $S_z$ 表象下，自旋算符的矩阵表示为：

$$S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

$S_z$ 的本征值 $m_s \hbar = \pm \frac{1}{2}\hbar$。

自旋算符的对易关系：

$$[S_x, S_y] = i\hbar S_z, \quad [S_y, S_z] = i\hbar S_x, \quad [S_z, S_x] = i\hbar S_y$$

自旋算符平方满足以下关系：

$$S_x^2 = S_y^2 = S_z^2 = \frac{\hbar^2}{4}$$

自旋算符与轨道角动量、坐标等均对易。

自旋平方算符 $S^2$：

$$S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 = \frac{3}{4} \hbar^2 = s(s+1) \hbar^2, \quad s=\frac{1}{2}$$

且 $[S^2, S_i] = 0$。

# 泡利矩阵

泡利矩阵 ($\sigma_i$) 是自旋算符的另一种表示形式：

$$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

自旋算符可表示为 $S = \frac{\hbar}{2} \sigma$。

泡利矩阵的性质：

• 对易关系：$[\sigma_x, \sigma_y] = 2i \sigma_z$
• 反对易关系：$\{ \sigma_x, \sigma_y \} = 0$
• 乘法关系：$\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z$
• 平方关系：$\sigma_i^2 = I$ （$I$ 为单位矩阵）

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# 旋量波函数与平均值

# 旋量波函数

电子的状态由旋量波函数描述，它是一个双分量函数：

$$\Psi(r, t) = \Psi_1(r, t) \nu_+ + \Psi_2(r, t) \nu_- = \begin{pmatrix} \Psi_1(r, t) \\ \Psi_2(r, t) \end{pmatrix}$$

其中，$\nu_+$ 和 $\nu_-$ 分别代表自旋向上和自旋向下的基态。

• 空间概率密度与归一化：

  $$w(r, t) = \Psi^\dagger \Psi= \left| \Psi_1 \right|^2 + \left| \Psi_2 \right|^2$$

  归一化条件：

  $$\int \Psi^\dagger \Psi d \tau = 1$$

• 自旋角动量概率分布：

  $$W(+\frac{\hbar}{2}) = \int \left| \Psi_1 \right|^2 d \tau$$

  $$W(-\frac{\hbar}{2}) = \int \left| \Psi_2 \right|^2 d \tau$$

# 平均值

物理量 $G$ 的平均值由以下公式计算：

$$\overline G = \int \Psi^\dagger \hat G \Psi d \tau$$

其中 $\hat G$ 是一个 $2 \times 2$ 的矩阵，每个元素可以是一个算符。

# 非耦合态

当轨道和自旋态可以进行变量分离时，波函数可写为：

$$\Psi(r, s_z, t) = \Psi_0(r, t) \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$

其归一化条件为：

$$\int \left| \Psi_0 \right|^2 d \tau = 1$$

$$\left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1$$

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# 角动量合成

# 一般角动量

对于任意角动量算符 $\hat J$，其平方算符 $\hat J^2$ 和 $z$ 分量算符 $\hat J_z$ 的本征值和本征态如下：

• $\hat J^2$ 的本征值：$j(j+1)\hbar^2, \quad j = 0, 1, 2, \cdots$ 或 $j = 1/2, 3/2, 5/2, \cdots$
• $\hat J_z$ 的本征值：$m \hbar, \quad m = -j, -j+1, \cdots, j$
• 共同本征态：$\left| j, m \right>$

# 角动量合成法则

当两个角动量 $\hat J_1$ 和 $\hat J_2$ 合成时，总角动量 $\hat J = \hat J_1 + \hat J_2$ 的量子数 $j$ 和 $m$ 遵循以下法则：

• 总角动量量子数 $j$：

  $$j = \left| j_1-j_2 \right|, \left| j_1-j_2+1 \right|, \cdots, j_1 + j_2$$

• 总磁量子数 $m$：

  $$m = m_1 + m_2 = -j, -j + 1, \cdots, j$$

# 表象与克莱布什-戈登系数

• 分离表象：以 $\hat J_1^2, \hat J_{1z}, \hat J_2^2, \hat J_{2z}$ 的共同本征态 $\left| j_1, m_1, j_2, m_2 \right>$ 为基底。
• 耦合表象：以 $\hat J_1^2, \hat J_2^2, \hat J^2, \hat J_{z}$ 的共同本征态 $\left| j_1, j_2, j, m \right>$ 为基底。
• 克莱布什-戈登（C-G）系数：将耦合表象基底按分离表象基底展开的系数，即 $\left< j_1, m_1, j_2, m_2 \middle| j_1, j_2, j, m \right>$。该系数可查表获得。

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# 双电子系统

# 自旋基本状态

对于双电子系统，其自旋的基本状态可以表示为直积态或纠缠态。

• 直积态：

  $$\left| \uparrow_A \right>\left| \uparrow_B \right>, \quad \left| \downarrow_A \right>\left| \downarrow_B \right>, \quad \left| \uparrow_A \right>\left| \downarrow_B \right>, \quad \left| \downarrow_A \right>\left| \uparrow_B \right>$$

• 纠缠态：无法拆分成两个粒子波函数的直积形式，例如：

  $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \uparrow_A \right>\left| \downarrow_B \right> + \left| \downarrow_A \right>\left| \uparrow_B \right>)$$

  纠缠态在其他自旋角动量直积表象下形式不变，并且总角动量恒为 0。