8. 海森堡绘景概述

# 简介

海森堡绘景是量子力学中描述系统时间演化的一种方法。在这种绘景中，系统的态矢量保持不变，而算符（力学量）随时间演化。这与薛定谔绘景形成对比，后者是态矢量随时间演化而算符保持不变。

在薛定谔绘景中，一个量子态 $|\psi(0)\rangle$ 随时间的演化可以通过一个酉算符 $\hat{U}(t)$ 来描述，该算符将初始态变为时刻 $t$ 的态 $|\psi(t)\rangle$ 。这个算符被称为时间演化算符，其定义为：

$\hat U(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} \hat H t}$

其中， $\hat H$ 是系统的哈密顿量。

时间演化算符具有以下几个重要性质：

它可以将任意时刻 $t_0$ 的态 $|\psi(t_0)\rangle$ 演化到时刻 $t$ 的态 $|\psi(t)\rangle$ ：
$|\psi(t)\rangle = \hat U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle$
当 $t_0=0$ 时，简写为 $|\psi(t)\rangle = \hat U(t) |\psi(0)\rangle$ 。
对能量本征态 $\psi_n(\mathbf{r})$ ，时间演化算符的作用是使其获得一个相位因子：
$e^{-\frac{i}{\hbar} \hat H t} \psi_n(\mathbf{r}) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \psi_n(\mathbf{r})$
时间演化算符的微分性质：
$\frac{d}{d t}\hat U(t) = -\frac{i}{\hbar} \hat H \hat U(t)$
其逆算符 $\hat U^\dagger(t)$ 的微分性质为：
$\frac{d}{d t}\hat U^\dagger(t) = \frac{i}{\hbar} \hat U^\dagger(t) \hat H$

海森堡绘景通过对薛定谔绘景进行幺正变换得到。在此绘景中，态矢量是常数，而算符随时间演化。

态矢量： 海森堡绘景下的态矢量 $|\psi_H\rangle$ 是一个固定量，定义为系统在 $t=0$ 时的态矢量：
$|\psi_H\rangle = |\psi(0)\rangle = \hat U^\dagger(t) |\psi(t)\rangle$
算符： 海森堡绘景下的算符 $\hat F_H(t)$ 随时间演化，其定义为：
$\hat F_H(t) = \hat U^\dagger(t) \hat F_S \hat U(t)$
其中 $\hat F_S$ 是薛定谔绘景下的算符（通常简写为 $\hat F$ ）。当 $t=0$ 时， $\hat F_H(0) = \hat F_S$ 。

在量子力学中，物理量的平均值（期望值）必须与绘景的选择无关。在海森堡绘景中，力学量 $\hat F$ 的平均值可以表示为：

$\overline F = \langle \psi(t) | \hat F | \psi(t) \rangle = \langle \psi_H | \hat F_H(t) | \psi_H \rangle$

这表明薛定谔绘景和海森堡绘景计算出的物理量平均值是等价的。

海森堡绘景中，算符随时间演化，其演化规律由海森堡运动方程描述。对任意算符 $\hat F_H(t)$ ，其演化方程为：

$\frac{d \hat F_H}{d t} = \frac{1}{i \hbar} [\hat F_H, \hat H]$

这个方程描述了在海森堡绘景中，算符如何随时间演化。特别地，若算符 $\hat F$ 与哈密顿量 $\hat H$ 对易（即 $[\hat F, \hat H]=0$ ），则该算符是守恒量，不随时间变化。

在海森堡绘景中，算符之间的对易关系保持不变：

$[\hat F_H, \hat G_H] = \hat U^\dagger [\hat F, \hat G] \hat U = [\hat F, \hat G]_H$

这意味着在任何绘景下，对易子的代数结构都是相同的。