7. 谐振子与升降算符

# 谐振子哈密顿量

哈密顿量：

$\hat H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2$
无量纲化：

定义无量纲坐标和动量：

$x^\prime = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x = \alpha x \\ p^\prime = \sqrt{\frac{1}{m \hbar \omega}} p = \frac{1}{\hbar \alpha} p$

对易关系：

$[\hat x, \hat p] = i\hbar \rightarrow [\hat x^\prime, \hat p^\prime] = i$

哈密顿量可改写为：

$\hat H = \frac12 \hbar \omega (\hat p^{\prime 2} + \hat x^{\prime 2})$

升降算符定义：

$a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat x^\prime - i\hat p^\prime) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha \hat x - \frac{i}{\alpha} \frac{d}{d x}) \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat x^\prime + i\hat p^\prime) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha \hat x + \frac{i}{\alpha} \frac{d}{d x})$
坐标动量算符表示：

反解可得：

$\hat p^\prime = \frac{i}{\sqrt{2}} (a^\dagger - a) \\ \hat x^\prime = \frac{1}{\sqrt{2}} (a^\dagger + a)$
基本性质：

对易关系： $[a, a^\dagger] = 1$

平均值非负： $\overline{a^\dagger a} = \left< \psi | a^\dagger a | \psi \right> = (a \psi, a \psi) \ge 0$
数算符与哈密顿量：

定义数算符 $\hat N = a^\dagger a$ ，则哈密顿量可表示为：

$\hat H = \hbar \omega (\hat N + \frac12)$

本征方程：

态矢量 $\left| n \right>$ 是数算符 $\hat N$ 的本征态，其本征值为 $n$ ：

$\hat N \left| n \right> = n \left| n \right>$

$\left| n \right>$ 也是哈密顿量 $\hat H$ 的本征态，其本征能量为 $E_n$ ：

$\hat H \left| n \right> = \hbar \omega (n + \frac12) \left| n \right>$
升降算符的递推性质：

降阶算符 $a$ ：

$a \left| 0 \right> = 0 \\ a \left| n \right> = \sqrt{n} \left| n - 1 \right>$

升阶算符 $a^\dagger$ ：

$a^\dagger \left| n \right> = \sqrt{n + 1} \left| n + 1 \right>$
本征解与能量：

基态波函数：

$\psi_0(x) = \frac{\sqrt{\alpha}}{\pi^{\frac14}} e^{-\frac{\alpha^2 x^2}{2}}$

激发态波函数：

$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n!}} {a^\dagger}^n \psi_0(x)$

本征能量：

$E_n = \hbar \omega (n + \frac12)$