6. 量子力学形式体系

# 表象

# 坐标表象与动量表象中的算符和本征函数

• 动量算符在坐标表象中：

  一维：$\hat p = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$，其动量本征函数为 $\psi_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar} p x}$

  三维：$\hat p = -i\hbar \nabla$，其动量本征函数为 $\psi_p(r) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} e^{\frac{i}{\hbar} p \cdot r}$

• 坐标算符在动量表象中：

  一维：$\hat x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}$，其坐标本征函数为 $\psi_x(p) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{-\frac{i}{\hbar} p x}$

  三维：$\hat x = i\hbar \nabla_p$，其坐标本征函数为 $\psi_r(p) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} e^{-\frac{i}{\hbar} p \cdot r}$

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# 矩阵形式

# 算符和波函数的矩阵表示

• 矩阵表示的特点： 矩阵表示一般不依赖于具体的表象，通常只包含时间。

• 内积的矩阵形式：

  对于正交归一的基底，波函数的内积可以表示为：

  $$\int \Psi^*(x, t) \Phi(x, t) d\tau \longleftrightarrow \Psi^\dagger(t) \Phi(t)$$

• 算符的矩阵元：

  算符 $\hat F$ 在一组基函数 $\{u_n(x)\}$ 下的矩阵元 $F_{mn}$ 为：

  $$F_{mn} = \int u_m^*(x) \hat F u_n(x) d\tau$$

• 厄米性的矩阵表示：

  厄米算符 $\hat F$ 在矩阵形式下满足共轭转置等于自身：

  $$F^\dagger = F$$

• 平均值的矩阵表示：

  对于波函数 $\Psi$，物理量 $\hat F$ 的平均值可以表示为：

  $$\overline F = \Psi^\dagger \hat F \Psi$$

• 本征值与特征值：

  算符在其自身表象中是一个对角矩阵，其对角线上的元素即为该算符的本征值。此时，本征值方程等价于矩阵的特征值方程。

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# 狄拉克符号

# 基本概念与性质

• 内积的狄拉克符号表示：

  波函数 $\Psi$ 和 $\Phi$ 的内积可以用狄拉克符号表示为：

  $$\int \Psi^*(x, t) \Phi(x, t) d\tau \longleftrightarrow \left< \psi(t) | \phi(t) \right>$$

• 从狄拉克符号到坐标表象的投影：

  波函数 $\phi(r, t)$ 是态矢量 $\left| \psi(t) \right>$ 在坐标表象下的投影：

  $$\phi(r, t) = \left< r | \psi(t) \right>$$

• 算符的性质：

  $$\left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dagger \psi | \phi \right> \\ (A \left| \psi \right>)^\dagger = \left< \psi \right| A^\dagger$$

• 完备性关系：

  $$\sum_n \left| \psi_n \right> \left< \psi_n \right| = I$$

  其中，$\left| \psi_n \right>$ 构成一组完备的正交归一基底。

  坐标表象中的完备性关系：

  $$\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(x^\prime) = \delta(x - x^\prime)$$

# 表象变换

• 表象变换公式：

  态矢量 $\left| \psi \right>$ 在基底 $\{ \left| u_n \right> \}$ 下的展开系数为 $a_n$，在基底 $\{ \left| v_m \right> \}$ 下的展开系数为 $b_m$：

  $$\left| \psi \right> = \sum_n a_n \left| u_n \right> = \sum_m b_m \left| v_m \right>$$

  两个基底之间的变换矩阵 $S_{kn} = \left< v_k | u_n \right>$，其系数满足：

  $$b_k = \sum_n \left< v_k | u_n \right> a_n = \sum_n S_{kn} a_n$$

  矩阵形式为：$\Psi_v = S \Psi_u$，其中 $S_{mn} = \left< \psi_m | \phi_n \right>$。

• 在坐标表象中的展开：

  $$\psi(x) = \sum_n a_n u_n(x) = \sum_m b_m v_m(x)$$

  系数之间的关系：

  $$b_k = \sum_n a_n \int v_k^*(r) u_n(r) d\tau = \sum_n a_n S_{kn}$$