5. 不确定性关系与守恒量

# 不确定性关系

# 算符不确定度的定义

对于任意一个力学量算符 $\hat{F}$，其在某个量子态下的不确定度 $\Delta F$ 定义为该算符的均方根误差。

算符的不确定度 $\Delta \hat{F}$ 可表示为：

$$\Delta \hat F = \hat F - \overline{\hat F}$$

其测量值的不确定度 $\delta f$ 可表示为：

$$\delta f = \sqrt{\overline{(\Delta \hat F)^2}} = \sqrt{\overline{\hat F^2} - \overline{\hat F}^2}$$

# 不确定性关系的表述

如果两个力学量算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 不对易，即它们的对易关系为 $[\hat{F}, \hat{G}] = i\hat{C}$ 且 $\overline{\hat{C}} \ne 0$，则它们的不确定度满足以下关系：

$$\overline{(\Delta \hat F)^2} \cdot \overline{(\Delta \hat G)^2} \ge \frac14 \overline{\hat C}^2, \quad \overline{\hat C} \in \mathbb{R}$$

# 不确定性关系的证明

不确定性关系可通过以下方法证明：

• 二次函数判别式构造法：利用二次函数的判别式性质来构造不等式。
• 利用算符的厄米性：证明中会用到算符的厄米共轭性质。
• 利用不确定算符的对易关系：不确定算符 $\Delta \hat{F}$ 和 $\Delta \hat{G}$ 的对易关系与原算符相同，即 $[\Delta \hat F, \Delta \hat G] = [\hat F, \hat G]$。

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# 守恒量

# 守恒量的定义与判据

守恒量是指在任何量子态下，其对应算符的平均值不随时间变化的物理量。

# 算符平均值对时间的导数

算符平均值 $\overline{F}$ 对时间的导数由以下公式给出：

$$\frac{d}{d t} \overline{F} = \frac{1}{i\hbar} \overline{[\hat F, \hat H]} + \overline{\frac{\partial}{\partial t} \hat F(t)}$$

# 守恒量判据

一个力学量是守恒量的充要条件是其对应的算符满足：

• 算符 $\hat{F}$ 不显含时间，即 $\frac{\partial}{\partial t} \hat F(t) = 0$。
• 算符 $\hat{F}$ 与哈密顿量 $\hat{H}$ 对易，即 $[\hat{F}, \hat{H}] = 0$。

需要注意的是，对于能量本身，它只需要不显含时间即可成为守恒量。

# 守恒量的性质

• 测量几率不变：如果一个物理量是守恒量，那么对它的测量几率不随时间变化。这是因为守恒量算符与哈密顿量有共同的本征函数。
• 非定态下的守恒性：守恒量在非定态下仍然是守恒的。
• 定态与守恒量：定态对于非守恒量来说也是一个定态，即其平均值不随时间变化。

# 常见状态的守恒量

• 自由粒子：能量、动量和角动量（包括 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$）是守恒量，但坐标不守恒。
• 氢原子：能量和角动量（包括 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$）是守恒量，但坐标和动量不守恒。