4. 本征函数与力学量

# 算符与本征函数系

# 厄米算符的性质

• 定义与性质：厄米算符 $\hat F$ 满足以下关系式：

  $$\int \psi^* (\hat F \phi) d\tau = \int (\hat F \psi)^* \phi d \tau$$

• 本征值：厄米算符的本征值是实数。
• 乘积：若两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米算符。

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# 本征函数的正交性与归一化

• 正交性定理：同一个厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
• 正交归一表示：
  • 离散谱：

    $$\int \phi_k^*(r) \phi_l(r) d\tau = \delta_{kl}$$

  • 连续谱：

    $$\int \phi_{\lambda_1}^*(r) \phi_{\lambda_2}(r) d\tau = \delta(\lambda_1 - \lambda_2)$$

• 箱归一化：对于在有限周期内连续的波函数，可以采用箱归一化，即只在一个周期内进行积分。

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# 对易关系与共同本征函数

• 对易运算公式：

  $$[A+B, C+D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D] \\ [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] \\ [A, BC] + [B, CA] + [C, AB] = 0$$

• 常用对易关系：
  • $[\hat x, \hat p_x] = i\hbar$
  • $[\hat L^2, \hat L_i] = 0$
  • $[\hat L_x, \hat L_y] = i\hbar \hat L_z$
  • 注意：坐标与势能对易，动量与动能对易，其余互不对易。哈密顿量等于动能与势能之和（在平均值意义下）。
  • 证明方法：证明对易关系时，需将算符作用在一个任意的波函数上。
• 共同本征函数判据：若两个算符对易（$[\hat F, \hat G] = 0$），则它们有组成完全系的共同本征函数。
  • 举例：三个角动量分量有一个共同本征函数 $Y_{00} = 1/\sqrt{4\pi}$。

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# 简并与力学量完全集

• $n$ 度简并：当一个本征值对应 $n$ 个本征函数时，称为 $n$ 度简并。
  • 此时，这些本征函数不一定正交，但可以通过 $n^2$ 个常数将它们线性组合成新的正交函数。
• 消除简并：可以选取多个彼此对易的算符来消除简并。当算符的个数足够多时，能够逐步消除简并，使得其本征值组对应的线性独立的共同本征函数唯一。
  • 这些算符构成一个力学量完全集（或称完备算符集）。
• 力学量完全集的选取：
  • $(x, y, z)$
  • $(p_x, p_y, p_z)$
  • $(H, L^2, L_z)$ （适用于氢原子，分别对应主量子数 $n$、角量子数 $l$ 和磁量子数 $m$，此处未考虑自旋）

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# 力学量的平均值

• 计算方法：
  • 概率加权法：

    $$\overline{F} = \sum_n \lambda_n w_n$$

  • 积分法：

    $$\overline{F} = \frac{\int \psi^* \hat F \psi d\tau}{\int \psi^* \psi d\tau}$$

• 相对概率：对于不能归一化的波函数，可以计算相对概率。