首页课程笔记电子工程系量子力学基础

# 极坐标与球坐标下的数学工具

# 坐标系单位向量转换

  • 球坐标系单位向量 (e^r,e^θ,e^ϕ)(\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\phi) 到直角坐标系单位向量 (i^,j^,k^)(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}) 的转换：

    e^r=sin⁡θcos⁡ϕ i^+sin⁡θsin⁡ϕ j^+cos⁡θ k^e^θ=cos⁡θcos⁡ϕ i^+cos⁡θsin⁡ϕ j^−sin⁡θ k^e^ϕ=−sin⁡ϕ i^+cos⁡ϕ j^\begin{aligned} \hat{e}_r &= \sin \theta \cos \phi \, \hat{i} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{j} + \cos \theta \, \hat{k} \\ \hat{e}_\theta &= \cos \theta \cos \phi \, \hat{i} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{j} - \sin \theta \, \hat{k} \\ \hat{e}_\phi &= -\sin \phi \, \hat{i} + \cos \phi \, \hat{j} \end{aligned}

  • 直角坐标系单位向量 (i^,j^,k^)(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}) 到球坐标系单位向量 (e^r,e^θ,e^ϕ)(\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\phi) 的转换：

    i^=sin⁡θcos⁡ϕ e^r+cos⁡θcos⁡ϕ e^θ−sin⁡ϕ e^ϕj^=sin⁡θsin⁡ϕ e^r+cos⁡θsin⁡ϕ e^θ+cos⁡ϕ e^ϕk^=cos⁡θ e^r−sin⁡θ e^θ\begin{aligned} \hat{i} &= \sin \theta \cos \phi \, \hat{e}_r + \cos \theta \cos \phi \, \hat{e}_\theta - \sin \phi \, \hat{e}_\phi \\ \hat{j} &= \sin \theta \sin \phi \, \hat{e}_r + \cos \theta \sin \phi \, \hat{e}_\theta + \cos \phi \, \hat{e}_\phi \\ \hat{k} &= \cos \theta \, \hat{e}_r - \sin \theta \, \hat{e}_\theta \end{aligned}

# 梯度与拉普拉斯算符

  • 二维极坐标下的梯度算符 (∇2\nabla_2) 与拉普拉斯算符 (∇22\nabla_2^2)：

    ∇2f=∂f∂rer+1r∂f∂θeθ∇22f=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2\begin{aligned} \nabla_2 f &= \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} \\ \nabla_2^2 f &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \end{aligned}

  • 三维球坐标下的梯度算符 (∇3\nabla_3) 与拉普拉斯算符 (∇32\nabla_3^2)：

    ∇3f=∂f∂rer+1r∂f∂θeθ+1rsin⁡θ∂f∂φeφ∇32f=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2f∂φ2\begin{aligned} \nabla_3 f &= \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \mathbf{e}_{\varphi} \\ \nabla_3^2 f &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} \end{aligned}

# 角动量算符

  • 角动量矢量算符 L^\hat{L} 在球坐标系下的表达式：

    L^=−iℏ(∂∂θe^φ−1sin⁡θ∂∂φe^θ)\hat{L} = -i\hbar \left( \frac{\partial}{\partial\theta} \hat{e}_\varphi - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} \hat{e}_\theta \right)

  • 角动量算符在直角坐标系下的分量表达式：

    L^x=iℏ(sin⁡ϕ∂∂θ+cot⁡θcos⁡ϕ∂∂ϕ)L^y=−iℏ(cos⁡ϕ∂∂θ−cot⁡θsin⁡ϕ∂∂ϕ)L^z=−iℏ∂∂ϕ\begin{aligned} \hat L_x &= i\hbar \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \cot\theta \cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ \hat L_y &= -i\hbar \left(\cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ \hat L_z &= -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi} \end{aligned}

  • 角动量平方算符 L^2\hat{L}^2 在球坐标系下的表达式：

    L^2=−ℏ2[1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1sin⁡2θ∂2∂ϕ2]\hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right]

# 球谐函数

# L^z\hat{L}_z 的本征函数与本征值

  • L^z\hat{L}_z 的本征方程为 L^zψ=mℏψ\hat L_z \psi = m\hbar \psi。
  • 本征值为 mℏm\hbar，其中 mm 是磁量子数，取值为 m=0,±1,±2,⋯m = 0, \pm1, \pm2, \cdots。
  • 本征函数为 ψm(ϕ)=12πeimϕ\psi_m(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\phi}。

# L^2\hat{L}^2 的本征函数与本征值

  • L^2\hat{L}^2 的本征方程为 L^2ψ=l(l+1)ℏ2ψ\hat L^2 \psi = l(l+1)\hbar^2 \psi。
  • 本征值为 l(l+1)ℏ2l(l+1)\hbar^2，其中 ll 是角量子数，取值为 l=0,1,2,⋯l = 0, 1, 2, \cdots，分别对应 s, p, d, f... 态。
  • L^2\hat{L}^2 和 L^z\hat{L}_z 具有共同的本征函数，即球谐函数 Ylm(θ,ϕ)Y_{lm}(\theta, \phi)。

# 球谐函数的定义与性质

  • 球谐函数 Ylm(θ,ϕ)Y_{lm}(\theta, \phi) 是 L^2\hat{L}^2 和 L^z\hat{L}_z 的共同本征函数，满足：

    L^2Ylm(θ,ϕ)=l(l+1)ℏ2Ylm(θ,ϕ)L^zYlm(θ,ϕ)=mℏYlm(θ,ϕ)\begin{aligned} \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta, \phi) &= l(l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta, \phi) \\ \hat{L}_z Y_{lm}(\theta, \phi) &= m\hbar Y_{lm}(\theta, \phi) \end{aligned}

    其中，量子数 mm 的取值范围为 m=−l,−l+1,⋯ ,lm = -l, -l+1, \cdots, l。
  • 球谐函数表达式：

    Ylm(θ,ϕ)=NlmPlm(cos⁡θ)eimϕY_{lm}(\theta, \phi) = N_{lm} P_l^m(\cos \theta) e^{im\phi}

    归一化常数 NlmN_{lm} 和连带勒让德多项式 Plm(cos⁡θ)P_l^m(\cos\theta) 的表达式为：

    Nlm=(−1)m2l+14π(l−∣m∣)!(l+∣m∣)!Plm(w)=12ll!(1−w2)∣m∣/2dl+∣m∣dwl+∣m∣(w2−1)l\begin{aligned} N_{lm} &= (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\ P_l^m(w) &= \frac{1}{2^l l!}(1-w^2)^{|m|/2} \frac{d^{l+|m|}}{dw^{l+|m|}} (w^2-1)^l \end{aligned}

  • 宇称性质：

    Ylm∗(θ,ϕ)=(−1)mYl−m(θ,ϕ)Ylm(−x,−y,−z)=Ylm(π−θ,ϕ+π)=(−1)lYlm(x,y,z)\begin{aligned} Y_{lm}^*(\theta, \phi) &= (-1)^m Y_{l-m}(\theta, \phi) \\ Y_{lm}(-x, -y, -z) &= Y_{lm}(\pi-\theta, \phi+\pi) = (-1)^l Y_{lm}(x, y, z) \end{aligned}

    注：此处的 (−x,−y,−z)(-x, -y, -z) 对应球坐标中的 (π−θ,ϕ+π)(\pi-\theta, \phi+\pi)。

# 常用球谐函数

Y00=14πY10=34πcos⁡θY1±1=∓38πsin⁡θe±iϕ\begin{aligned} Y_{00} &= \sqrt{\frac{1}{4\pi}} \\ Y_{10} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta \\ Y_{1\pm1} &= \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta e^{\pm i\phi} \end{aligned}