1. 波函数与定态

# 基本概念与数学工具

# 常用数学公式

• 狄拉克$\delta$函数相关积分：

  $$\int e^{iax}dx = 2\pi\delta(a) \\ \int e^{ia \cdot r}dxdydz = (2\pi)^3\delta(a)$$

• 高斯积分：

  $$\int e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$$

• 黑体辐射普朗克公式：

  $$\rho(\nu) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}$$

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# 算符与波函数

# 常用算符

• 动量算符

  • 算符形式：

    $$\hat p = -i\hbar \nabla$$

  • 本征态（平面波）：

    $$\psi_p(r) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}^3} e^{\frac{i}{\hbar} p \cdot r}$$

• 角动量算符

  • 算符形式：

    $$\hat L = \hat r \times \hat p = -i\hbar r \times \nabla \\ \hat L_z = \hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x$$

  • 本征态：

    $$\psi_{lm}(\theta, \phi) = Y_{lm}(\theta, \phi)$$

• 能量算符（哈密顿算符）

  • 算符形式：

    $$\hat H = \frac{\hat p^2}{2\mu} + \hat U = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + U(r)$$

# 波函数与几率

• 波函数条件：波函数$\Psi$必须满足单值、有限和一阶导连续的条件。

• 自由粒子波函数：

  $$\psi(r, t) = A e^{-i\frac{Et - p\cdot r}{\hbar}}$$

• 几率密度：$w = |\Psi|^2$。它表示在空间某一点找到粒子的几率。

• 几率流密度：$J = \frac{i\hbar}{2m} (\Psi \nabla \Psi^* - \Psi^* \nabla \Psi) = \text{Re}\left\{ \Psi^* \frac{\hat p}{m} \Psi \right\}$。它描述几率的流动。

• 几率守恒方程：

  $$\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0$$

• 电流密度：$J_e = eJ$。

• 归一化条件

  • 对于连续本征谱，本征态在全空间的归一化：

    $$\int \Psi_y^*(x) \Psi_{y^\prime}(x) dx = \delta(y - y^\prime)$$

  • 对于连续本征谱，本征态在全基底的归一化：

    $$\int \Psi_y^*(x) \Psi_{y}(x^\prime) dy = \delta(x - x^\prime)$$

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# 定态及其性质

• 定态波函数：

  $$\Psi(r, t) = \psi(r) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}$$

• 定态薛定谔方程：

  $$\hat H \psi_n = E_n \psi_n$$

  它是哈密顿算符的本征值方程。

• 定态性质：

  • 几率密度、几率流密度、力学量几率分布以及其平均值均不随时间变化。

• 束缚态：

  • 定义：当粒子能量$E$小于无穷远处的势能$U(\infty)$时，粒子的波函数$\psi(\infty)$趋近于零。
  • 性质：一维束缚态不简并，且能级是不连续的。

• 简并：一个本征值对应多个线性独立的本征函数。

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# 典型示例

# 一维无限深势阱

• 势能：
  • 当$x \in [0, a]$时，$U(x) = 0$。
  • 当$x \notin [0, a]$时，$U(x) = \infty$。
• 能级：

  $$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots$$

• 定态波函数：

  $$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left( \frac{n\pi}{a} x \right), \quad x \in [0, a]$$

• 时变波函数（以势阱 $[-a, a]$为例）：

  $$\Psi_n(x, t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \left( \frac{n\pi}{2a} (x + a) \right) e^{-\frac{iE_n}{\hbar} t}, \quad x \in [-a, a]$$

# 线性谐振子

• 势能：

  $$U(x) = \frac12 \mu \omega^2 x^2$$

• 能级：

  $$E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega, \quad n = 0, 1, 2, \cdots$$

• 定态波函数：

  $$\psi_n(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi^{\frac{1}{2}} 2^n n!} \right)^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{\alpha^2 x^2}{2}} H_n(\alpha x), \quad \alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$$

• 定态波函数宇称：

  $$\psi_n(-x) = (-1)^n \psi_n(x)$$

• 定态波函数递推公式：

  $$\begin{aligned} x \psi_n(x) &= \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}(x) \\ \frac{d}{dx} \psi_n(x) &= \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}(x) - \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}(x) \end{aligned}$$

• 厄米多项式 $H_n(\xi)$
  • 定义：

    $$H_n(\xi) = (-1)^n e^{\xi^2} \frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}$$

  • 递推关系：

    $$H_{n+1}(\xi) - 2\xi H_n(\xi) + 2n H_{n-1}(\xi) = 0 \\ \frac{dH_n}{d\xi} = 2n H_{n-1}(\xi)$$

  • 前几项：

    $$\begin{aligned} H_0(\xi) &= 1 \\ H_1(\xi) &= 2\xi \\ H_2(\xi) &= 4\xi^2 - 2 \\ H_3(\xi) &= 8\xi^3 - 12\xi \\ H_4(\xi) &= 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 \\ H_5(\xi) &= 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi \end{aligned}$$

# 势垒穿透

• 物理情景：当粒子能量$E$小于势垒高度$U$时，粒子从一侧入射势垒，可能从另一侧出射。
• 波函数分段形式：

  $$\psi = \begin{cases} A e^{ikx} + B e^{-ikx}, & x<0 \\ F e^{\alpha x} + G e^{-\alpha x}, & 0<x<a \\ C e^{ikx}, & x>a \end{cases}$$

• 反射、透射系数：

  $$\text{反射系数 } R = \frac{|J_R|}{|J_I|} = \frac{|B|^2}{|A|^2} \\ \text{透射系数 } D = \frac{|J_D|}{|J_I|} = \frac{|C|^2}{|A|^2}$$