# 复变函数 (Complex Variables)
# 基础概念与解析函数
- 几个初等复变函数
- 复变函数的导数：定义与相关条件
- 复变函数可导的定义。
- 柯西-黎曼（C-R）条件及其极坐标形式。
- 复变函数可导的充要条件及其证明。
- 解析函数与调和函数
- 解析函数的定义。
- 解析函数与调和函数的关系。
- 由实部计算解析函数虚部的方法。
- 支点的定义。
# 复变函数的积分
- 积分定义与柯西定理
- 复变函数积分的定义。
- 单连通区域的柯西定理及其证明。
- 复连通区域的柯西定理。
- 柯西积分公式及其应用
- 柯西积分公式、证明引理与证明。
- 无界区域的柯西积分公式及其证明。
- 柯西积分公式的导函数形式。
- 利用柯西积分公式计算曲线积分。
- 其他重要定理
- 最大模定理及其证明。
- 刘维尔定理及其证明。
- 代数学基本定理的证明。
# 级数与奇点
- 复数域级数
- 复数域级数收敛与绝对收敛的定义。
- 幂级数的绝对收敛条件与收敛圆。
- 泰勒级数与洛朗级数
- 泰勒级数及其构造性证明与唯一性证明。
- 计算泰勒展开式与收敛半径。
- 解析延拓。
- 洛朗级数及其构造性证明。
- 计算洛朗展开式。
- 孤立奇点
- 孤立奇点的分类及其性质。
- 极点的阶与单极点。
- 无穷远点为孤立奇点的情况。
# 留数理论
- 留数定义与计算
- 留数的定义。
- 无穷远点为奇点时留数的定义。
- 单极点留数的求法。
- 高阶极点留数的求法。
- 留数的分式求法。
- 留数定理及其应用
- 留数定理。
- 无穷远极点的留数定理。
- 有限孤立奇点的留数和求法。
- 留数定理在三类积分计算中的应用。
- 傅里叶变换（参考相关笔记，包含 δ 函数部分）。
- 拉普拉斯变换（参考相关笔记）。
- 积分变换在解方程中的应用。
# 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDE)
# PDE 基础理论
- 方程的分类：线性、半线性、拟线性、完全非线性。
- 定解问题的分类：初值问题、定解问题、混合问题、边值问题。
- 方程的类型：双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程。
# 经典方程的求解方法
- 特征线法：求解运输方程。
- 波动方程
- 齐次化原理及其公式与灵活应用。
- 一维波动方程的初值问题。
- 依赖区间、决定区域、影响区域。
- 一维半无界波动方程与对称开拓法。
- 三维波动方程与球对称假设。
- 二维初值问题与降维法（将低维情况延拓到高维）。
- 热传导方程
- 热传导方程与积分变换法、卷积的变换。
- 热传导方程的泊松（Poisson）公式。
- 泊松核的性质。
- 热传导方程的基本解。
- 位势方程
- 三维与二维位势方程的基本解。
- 格林（Green）函数。
# 高级求解技术
- 分离变量法
- 应用分离变量法求解。
- 特征函数的正交性、以特征函数为基底的展开式。
- 非齐次问题
- 非齐次波动方程解的形式：利用特征函数为基底分解原方程，将其转化为求解关于 T 的常微分方程，并利用齐次化原理求解。
- 求解非齐次边界条件问题的辅助函数：满足非齐次边界条件且对 X 求二阶导为 0。
- 求解位势方程的非齐次边界条件问题：先引入辅助函数，再分离变量。
- 不同坐标系下的算子
- 球对称下的拉普拉斯算子。
- 柱对称下的拉普拉斯算子。
# 特殊函数 (Special Functions)
- 贝塞尔（Bessel）方程
- 贝塞尔方程。
- 贝塞尔方程的级数解与通解。
- 第一类贝塞尔函数的递推关系。
- 第一类贝塞尔函数的特征值、特征函数、正交性与模值。
- 特征值非负的证明。
- 勒让德（Legendre）方程
