12. 条件异方差模型

# 概述

# 随机方差模型的基本思想

传统的线性平稳过程，如基于沃尔德分解定理的模型 $y_t=\mu_t+u_t$，其中 $u_t=\theta(B)\varepsilon_t$，其无条件方差和条件方差均为常数。然而，许多金融时间序列数据的波动性会随时间变化，传统的模型无法捕捉这种动态。

为了解决这一问题，随机方差模型应运而生：
$y_t=\mu_t(\theta)+\varepsilon_t$
$\varepsilon_t=\sigma_t(\theta)z_t$
其中，$z_t \sim iid(0,1)$，$\mu_t(\theta)=E[y_t|F_{t-1}]$ 为条件均值，$\sigma_t^2(\theta)=E[\varepsilon_t^2|F_{t-1}]$ 为条件方差。

• 动态条件均值 $\mu_t(\theta)$ 可以采用 ARMA(p,q) 模型或包含季节性特征的模型来描述。
• 动态条件方差 $\sigma_t^2(\theta)$ 捕捉了序列的波动性随时间的变化。

# 随机方差模型的性质

• 条件均值：$\{\varepsilon_t\}$ 的条件均值为 0。
  • $E_{t-1}[\varepsilon_t] = E_{t-1}[y_t-\mu_t] = 0$
• 条件协方差：$\{\varepsilon_t\}$ 的条件协方差为 0。
  • $Cov_{t-h}[\varepsilon_t,\varepsilon_{t+k}] = E_{t-h}[\varepsilon_t\varepsilon_{t+k}] = 0$
• 方差估计：若 $z_t \sim NID(0,1)$ 且与 $\sigma_t^2(\theta)$ 独立，则 $\varepsilon_t^2$ 是 $\sigma_t^2(\theta)$ 的无偏估计。
  • $E_{t-1}[\varepsilon_t^2] = E_{t-1}[\sigma_t^2]E_{t-1}[z_t^2] = E_{t-1}[\sigma_t^2]$
• 重尾性：若 $\varepsilon_t|F_{t-1} \sim N(0, \sigma_t^2)$，则 $\varepsilon_t$ 具有重尾性（尖峰厚尾），因为其无条件峰度大于 3。
  • $\kappa = \frac{E[\varepsilon_t^4]}{[E(\varepsilon_t^2)]^2} = 3 + 3\frac{Var(\sigma_t^2)}{[E(\varepsilon_t^2)]^2}$

# 常见随机方差模型类型

• 条件异方差（GARCH 型）模型：条件方差 $\sigma_t^2$ 由过去的残差平方 $\varepsilon_{t-j}^2$ 和过去的条件方差 $\sigma_{t-j}^2$ 决定。波动由过去的观测值决定。
  • 典型模型：$\sigma_t^2=w+\sum_{j=1}^q\alpha_j\varepsilon_{t-j}^2+\sum_{j=1}^p\beta_j\sigma_{t-j}^2$
• 随机波动率模型（SV 模型）：波动性是一个潜在的、不可直接观测的随机过程，由一个独立的白噪声序列 $\{v_t\}$ 驱动。
  • 典型模型：$\varepsilon_t=\sigma_tz_t$，$z_t \sim iid(0,1)$；$\ln(\sigma_t) = w + \phi\ln(\sigma_{t-1}) + v_t$
• 状态转换模型：条件方差 $\sigma_t=\sigma(\Delta_t)$，其中 $\Delta_t$ 是一个潜在的整数过程，通常用有限状态马尔可夫链建模。
  • 转移概率矩阵 $P=[p_{ij}]$，$p_{ij}=P(\Delta_t=j|\Delta_{t-1}=i)$

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# ARCH 模型

# ARCH(q) 模型

• 模型形式：
  $\varepsilon_t = \sigma_t z_t$，$z_t \sim iid(0,1)$
  $\sigma_t^2 = w + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q\varepsilon_{t-q}^2$
  其中，$w>0, \alpha_i \ge 0$。
• 平稳性：$\varepsilon_t$ 是弱平稳的，当且仅当 $\sum_{i=1}^q\alpha_i < 1$。
• 无条件方差：若满足弱平稳性，则创新项的无条件方差为 $\sigma_\varepsilon^2 = E[\varepsilon_t^2] = \frac{w}{1-\sum_{i=1}^q\alpha_i}$。
• 白噪声：$\{\varepsilon_t\}$ 是白噪声序列，但不是独立同分布的。

# ARCH 模型的峰度

即使标准化创新项 $z_t$ 服从正态分布，$\varepsilon_t$ 的无条件分布也具有重尾性。以 ARCH(1) 模型为例：

• 无条件方差：$\sigma_\varepsilon^2 = \frac{w}{1-\alpha}$。
• 无条件峰度：$\kappa_\varepsilon = \frac{E[\varepsilon_t^4]}{E[\varepsilon_t^2]^2} = 3\frac{1-\alpha^2}{1-3\alpha^2} \ge 3$。
  • 要求四阶矩为正，即 $\alpha^2 < 1/3$。

# ARCH 波动的预测

• 一步预测：$\sigma_t^2(1) = \hat{w} + \sum_{i=1}^q \hat{\alpha}_i \hat{\varepsilon}_{t+1-i}^2$。
• 多步预测：$\sigma_t^2(h) = \hat{w} + \sum_{i=1}^q \hat{\alpha}_i \hat{\sigma}_t^2(h-i)$，其中 $\hat{\sigma}_t^2(l) = \hat{\varepsilon}_{t+l}^2$ 当 $l \le 0$。

# ARCH 效应检验

• 原假设 $H_0$：残差序列 $\varepsilon_t$ 不存在 ARCH 效应，即 $\alpha_1=\cdots=\alpha_q=0$。
• 检验方法：对残差平方 $\hat{\varepsilon}_t^2$ 进行回归 $\hat{\varepsilon}_t^2=\alpha_0+\alpha_1\hat{\varepsilon}_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p\hat{\varepsilon}_{t-p}^2+v_t$。
• 检验统计量：在 $H_0$ 成立下，$S=TR^2 \to \chi_p^2$，其中 $T$ 是样本容量，$R^2$ 是上述回归方程的决定系数。

# ARCH 回归模型

ARCH 模型可用于建模回归方程的残差方差。

• 模型形式：$y_t = \beta'x_t + \varepsilon_t$
• 残差项：$\varepsilon_t|F_{t-1} \sim N(0,\sigma_t^2)$，$\sigma_t^2=w+\alpha(B)\varepsilon_t^2$

# ARCH 模型的构建步骤

1. 均值建模：首先，对序列均值进行建模（如 ARIMA），得到残差序列 $\hat{\varepsilon}_t$。
2. ARCH 效应检验：对残差平方的 ACF、PACF 和 Q 统计量进行检验，以检测是否存在 ARCH 效应。
3. 定阶：根据残差平方的 PACF 或信息准则（AIC、BIC）确定 ARCH 模型的阶数 q。
4. 参数估计：使用条件最大似然估计（MLE）或拟似然估计（QMLE）进行参数估计。
5. 模型检验：检查标准化残差及其平方的 ACF、PACF 和 Q 统计量，以及标准化残差的偏度和峰度，以评估模型的拟合效果。

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# GARCH 模型

# GARCH(p,q) 模型

• 模型形式：
  $\varepsilon_t=\sigma_t\eta_t$
  $\sigma_t^2=w+\sum_{i=1}^q\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^p\beta_j\sigma_{t-j}^2$
  其中 $w>0, \alpha_i \ge 0, \beta_j \ge 0$。
• 最常用：GARCH(1,1) 模型：$\sigma_t^2=w+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2$。
• 弱 GARCH：$E[\varepsilon_t|F_{t-1}]=0$，且条件方差满足上述形式。
• 强 GARCH：要求 $\eta_t \sim iid(0,1)$。

# GARCH 模型的平稳性

• 弱平稳：GARCH(p,q) 过程是弱平稳的，当且仅当 $\sum_{i=1}^q\alpha_i + \sum_{j=1}^p\beta_j < 1$。
• 严格平稳：对于 GARCH(1,1) 模型，其严格平稳的充分必要条件为 $E[\ln(\alpha\eta_t^2+\beta)] < 0$。

# GARCH 波动的预测

• 一步预测：$\sigma_t^2(1) = \hat{w}+\sum_{j=1}^p\hat{\beta}_j\hat{\sigma}_t^2+\sum_{i=1}^q\hat{\alpha}_i\hat{\varepsilon}_t^2$。
• 多步预测：
  $\sigma_t^2(h) = E_t[\sigma_{t+h}^2] = w + \sum_{j=1}^m(\alpha_j+\beta_j)\sigma_t^2(h-j)$，其中 $m=\max(p,q)$。
• 预测收敛性：当过程为方差平稳时，长期预测会收敛到无条件方差：$\lim_{h\to\infty}\sigma_t^2(h) \to \sigma^2$。

# IGARCH 模型

• 模型形式：融合 GARCH（IGARCH） 模型，当 $\sum_{i=1}^q\alpha_i + \sum_{j=1}^p\beta_j=1$ 时。
• 非弱平稳：此时，无条件方差不再是常数，$\varepsilon_t$ 不是弱平稳的，但仍然是严格平稳的。
• IGARCH(1,1) 模型的 $h$ 步预测为：$\sigma_t^2(h)=(h-1)w+\sigma_t^2(1)$，说明方差预测是线性递增的。

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# 其它 GARCH 族模型

# GARCH 模型的局限性

• 对称性：GARCH 模型假设好消息（正向冲击）和坏消息（负向冲击）对波动性的影响是对称的。
• 杠杆效应：实际上，金融市场中的坏消息（负向冲击）通常会引起更大的波动性，这种现象称为“杠杆效应”，GARCH 模型无法捕捉。
• 参数约束：为保证方差非负，参数 $\alpha_i, \beta_j$ 被限制为非负，但实际中可能存在负相关性。

# EGARCH 模型

• 模型形式：指数 GARCH (EGARCH) 模型使用对数形式，避免了参数的非负性约束。
  $\ln(\sigma_t^2) = w + \sum_{i=1}^q\alpha_ig(\eta_{t-i}) + \sum_{j=1}^p\beta_j\ln(\sigma_{t-j}^2)$
• 杠杆效应：通过函数 $g(\eta_t)=\varphi\eta_t+\gamma(|\eta_t|-E|\eta_t|)$，可以使得正向和负向冲击对波动性的影响不对称。

# GJR-GARCH 模型

• 模型形式：GJR-GARCH 模型引入一个指示函数来捕捉非对称性。
  $\sigma_t^2 = w + \sum_{i=1}^p[\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2+\delta_i\varepsilon_{t-i}^2I(\varepsilon_{t-i}<0)] + \sum_{j=1}^q\beta_j\sigma_{t-j}^2$
  当 $\varepsilon_{t-i}<0$（坏消息）时，其对波动性的影响系数为 $\alpha_i+\delta_i$，而 $\varepsilon_{t-i}>0$（好消息）时为 $\alpha_i$。

# GARCH-M 模型

• 模型形式：GARCH-in-mean (GARCH-M) 模型将条件方差项引入到均值方程中，以捕捉“风险-收益”权衡关系。
  $y_t = \delta_0+\delta_1x_t+\delta_2g(\sigma_t^2)+\varepsilon_t$
  $\sigma_t^2=w+\sum_{i=1}^q\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2+\sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-j}^2$
  其中，$g(\sigma_t^2)$ 可以是 $\sigma_t$ 或 $\sigma_t^2$ 等形式。