11. 长记忆时间序列

# 概览与背景

在时间序列分析中，序列的记忆性通常通过其自相关函数（ACF）的衰减速度来衡量。

短记忆序列：对于 $I(0)$ 序列，ACF 以指数（几何）速率衰减。这意味着远离当前时间的序列值与当前值近似独立。
长记忆序列：对于 $I(1)$ 序列，ACF 衰减速度非常慢，以线性速率衰减，导致远离当前时间的序列值与当前值并非独立。
分数阶积分序列： $I(d)$ 分数阶积分序列介于短记忆和长记忆之间。其 ACF 以多项式速率衰减，表明远离当前时间的序列值与当前值存在微弱但非零的相关性，这就是长记忆性的来源。

# 分数阶积分过程

# $ARFIMA(0,d,0)$ 模型

分数阶积分白噪声序列 $y_t$ 可由以下方程定义：

$(1-B)^dy_t=\varepsilon_t,~\varepsilon_t\sim WN(0,\sigma^2)$

其中， $(1-B)^d$ 可通过伯努利展开得到：

$(1-B)^d=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma(k-d)}{\Gamma(-d)\Gamma(k+1)}B^k$

根据 $d$ 的取值，该模型具有不同性质：

当 $d=0$ 时，该模型简化为白噪声过程。
当 $d=1$ 时，该模型为随机游走。
当 $d<0.5$ 时，该过程是弱平稳的，具有 $MA(\infty)$ 形式：
$y_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^\infty\psi_i\varepsilon_{t-i}$
其中， $\psi_k=\frac{\Gamma(k+d)}{\Gamma(d)\Gamma(k+1)}$ 。
当 $d>-0.5$ 时，该过程是可逆的，具有 $AR(\infty)$ 形式：
$y_t=\sum_{i=1}^\infty\pi_iy_{t-i}+\varepsilon_t$
其中， $\pi_k=\frac{\Gamma(k-d)}{\Gamma(-d)\Gamma(k+1)}$ 。

在 $-0.5<d<0.5$ 的情况下：

自相关系数（ACF）：
$\rho_k=\frac{\Gamma(k+d)\Gamma(1-d)}{\Gamma(1+k-d)\Gamma(d)}$
特别地， $\rho_1=d/(1-d)$ 。对于较大的 $k$ 值， $\rho_k$ 近似满足：
$\rho_k\approx\frac{\Gamma(1-d)}{\Gamma(d)}k^{2d-1}\propto k^{2d-1}$
这表明 ACF 趋近于 0 的速度取决于 $d$ 。
偏自相关系数（PACF）： $\phi_{kk}=d/(k-d)$ 。

# $ARFIMA(p,d,q)$ 模型

自回归分数阶积分移动平均模型 $ARFIMA(p,d,q)$ 可由 $AR(p)$ 和 $MA(q)$ 过程的结合来定义：

$(1-B)^dy_t=u_t,~u_t\sim ARMA(p,q)$

即：

$\phi(B)(1-B)^dy_t=\theta(B)\varepsilon_t$

该模型的谱密度为：

$f_y(\lambda)=\frac{\sigma^2}{2\pi}\frac{|\theta(e^{-i\lambda})|^2}{|\phi(e^{-i\lambda})|^2}|1-e^{-i\lambda}|^{-2d}$

# 慢变函数与正则变函数

# 慢变函数

函数 $L(u)$ 在无穷远处是慢变函数，当且仅当：

存在一个常数 $c$ ，使得 $L(u)>0$ 对所有 $u\in[c,\infty]$ 成立。
对于任意的 $a>0$ ，满足 $\lim_{u\to\infty}\frac{L(au)}{L(u)}=1$ 。
常见的例子包括 $L(u)=const>0$ 或 $L(u)=\log u,~u>0$ 。
函数 $L(u)$ 在 0 处是慢变函数，当且仅当 $L(1/u)$ 在无穷远处是慢变函数。

# 正则变函数

函数 $R(u)$ 在无穷远处是以指数 $\rho\in R$ 正则变，当且仅当它可以表示为 $R(u)=u^\rho L(u)$ ，其中 $L(u)$ 是在无穷远处的一个慢变函数。
函数 $R(u)$ 在 0 处是正则变函数，当且仅当 $R(1/u)$ 在无穷远处是正则变函数。

# 长程依赖

# 定义

长程依赖（Long-Range Dependence, LRD）通常要求序列是弱平稳的，且分数阶积分参数 $d$ 满足 $d\in (0,1/2)$ 。长程依赖有多种等价定义：

定义 1（线性表示）：存在线性表示 $X_n=\mu+\sum_{k=0}^\infty\psi_kZ_{n-k}$ ，其中 $Z\sim WN(0,\sigma_Z^2)$ ， $\psi_k=L_1(k)k^{d-1}$ ，且 $L_1$ 是无穷远处的慢变函数。
定义 2（自协方差函数 ACVF）：序列的自协方差函数 $\gamma(k)$ 满足 $\gamma(k)=L_2(k)k^{2d-1}$ ，其中 $L_2$ 是无穷远处的慢变函数。
定义 3（绝对可和性）：自协方差函数不是绝对可和的，即 $\sum_{k=-\infty}^\infty|\gamma(k)|=\infty$ 。
定义 4（谱密度）：序列的谱密度 $f(\lambda)$ 满足 $f(\lambda)=L_4(\lambda)\lambda^{-2d}$ ，其中 $L_4$ 是 0 处的慢变函数。
定义 5（方差）：序列的部分和方差满足 $var(X_1+\cdots+X_n)=L_5(n)n^{2d+1}$ ，其中 $L_5$ 是无穷远处的慢变函数。或者，样本均值的方差满足 $var(\bar{X}_n)=L_5(n)n^{2d-1}$ 。

# 定义间关系

这些定义之间存在密切联系：定义 1 蕴含定义 2；定义 2 与定义 4 等价；定义 4 蕴含定义 3；定义 3 与定义 5 等价。

# 自相似性

自相似性指时间序列在经过压缩或拉伸后，其“统计形状”保持不变。一个序列 $X(t)$ 满足 $X(ct)=c^HX(t)$ ，则称其为 $H$ -自相似的，其中 $H$ 为自相似指数。例如，布朗运动的 $H=0.5$ 。

# Lamperti 变换

Lamperti 变换建立了自相似过程与严平稳过程之间的联系：

如果 $X(t)$ 是自相似的，那么 $Y(t)=e^{-tH}X(e^t)$ 是严平稳的。
反之，如果 $Y(t)$ 是严平稳的，那么 $X(t)=t^HY(\log t),~t\ge0$ 是自相似的。