首页课程笔记统计系应用时间序列分析

# 概述

传递函数模型是描述单输入单输出或多输入单输出系统动态关系的一种重要工具。其基本形式为：

yt=ν(B)xt+nty_t = \nu(B)x_t + n_t

其中：

  • yty_t 是输出序列。
  • xtx_t 是输入序列。
  • ν(B)=∑j=−∞∞νjBj\nu(B) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \nu_j B^j 是传递函数。
  • ntn_t 是与 xtx_t 独立的噪声序列。

当输入 xtx_t 和噪声 ntn_t 序列都是自回归滑动平均（ARMA）模型时，该传递函数模型又被称为 ARMAX 模型。

# 传递函数的性质

# 稳定性与因果性

  • 稳定性：若 ∑j=−∞∞∣νj∣<∞\sum_{j=-\infty}^{\infty} |\nu_j| < \infty，则传递函数模型是稳定的。
  • 因果性：若 νj=0\nu_j = 0 对于所有 j<0j<0，则传递函数是因果的，意味着当前输出只受过去和当前的输入影响。

在实际应用中，通常只考虑 稳定且因果 的传递函数模型，其形式可简化为：

yt=ν0xt+ν1xt−1+ν2xt−2+⋯+nt=ν(B)xt+nty_t = \nu_0 x_t + \nu_1 x_{t-1} + \nu_2 x_{t-2} + \cdots + n_t = \nu(B)x_t + n_t

其中 ν(B)=∑j=0∞νjBj\nu(B) = \sum_{j=0}^{\infty} \nu_j B^j 且 ∑j=0∞∣νj∣<∞\sum_{j=0}^{\infty} |\nu_j| < \infty，且 xt⊥ntx_t \perp n_t。

# 简化形式

为了简化参数估计，传递函数 ν(B)\nu(B) 通常被表示为两个多项式的比值：

ν(B)=w(B)Bbδ(B)\nu(B) = \frac{w(B)B^b}{\delta(B)}

其中：

  • w(B)=w0−w1B−⋯−wsBsw(B) = w_0 - w_1 B - \cdots - w_s B^s
  • δ(B)=1−δ1B−⋯−δrBr\delta(B) = 1 - \delta_1 B - \cdots - \delta_r B^r
  • bb 是延迟参数。

# 传递函数的交叉相关函数 (CCF)

对于因果传递函数模型 yt=ν0xt+ν1xt−1+ν2xt−2+⋯+nty_t = \nu_0 x_t + \nu_1 x_{t-1} + \nu_2 x_{t-2} + \cdots + n_t，输入序列 xtx_t 和输出序列 yty_t 之间的交叉相关函数为：

ρxy(k)=corr(xt,yt+k)=σxσy{ν0ρx(k)+ν1ρx(k−1)+ν2ρx(k−2)+⋯ }\rho_{xy}(k) = corr(x_t, y_{t+k}) = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \{ \nu_0 \rho_x(k) + \nu_1 \rho_x(k-1) + \nu_2 \rho_x(k-2) + \cdots \}

特别地，若输入序列 xtx_t 是白噪声，即 ρx(k)=0,k≠0\rho_x(k) = 0, k \neq 0，则上式简化为：

νk=σyσxρxy(k)\nu_k = \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \rho_{xy}(k)

这表明在输入为白噪声的特殊情况下，传递函数的系数 νk\nu_k 与 xt,yt+kx_t, y_{t+k} 之间的交叉相关函数 ρxy(k)\rho_{xy}(k) 成正比。

# 构建传递函数模型的步骤

构建一个传递函数模型通常包括以下四个步骤：

# 1. 识别传递函数模型

该步骤旨在确定传递函数 ν(B)\nu(B) 的结构，即多项式 w(B)w(B) 和 δ(B)\delta(B) 的阶数 (s,rs, r) 以及延迟参数 bb。

  • 对输入序列进行预白化 (Pre-whitening)：
    • 首先，找到一个合适的 ARMA 模型来拟合输入序列 xtx_t，使其残差序列 αt\alpha_t 成为白噪声：

      αt=ϕx(B)θx(B)xt∼WN(0,σα2)\alpha_t = \frac{\phi_x(B)}{\theta_x(B)} x_t \sim WN(0, \sigma_{\alpha}^2)

  • 对输出序列进行滤波 (Filtering)：
    • 用与预白化输入序列相同的滤波器，对输出序列 yty_t 进行滤波得到序列 βt\beta_t：

      βt=ϕx(B)θx(B)yt\beta_t = \frac{\phi_x(B)}{\theta_x(B)} y_t

  • 计算样本交叉相关函数 (SCCF)：
    • 根据 αt\alpha_t 和 βt\beta_t 计算它们的样本交叉相关函数 ρ^αβ(k)\hat{\rho}_{\alpha\beta}(k)，并根据输入为白噪声的特性，估计传递函数系数 νk\nu_k：

      ν^k=σ^βσ^αρ^αβ(k)\hat{\nu}_k = \frac{\hat{\sigma}_{\beta}}{\hat{\sigma}_{\alpha}} \hat{\rho}_{\alpha\beta}(k)

    • 通过将 ν^k\hat{\nu}_k 的显著性与标准差 (n−k)−1/2(n-k)^{-1/2} 进行比较，来识别 ν^k\hat{\nu}_k 的显著性。
  • 识别 b,r,sb, r, s：
    • 通过比较理论上的 νk\nu_k 模式和估计值 ν^k\hat{\nu}_k 的模式，确定 b,r,sb, r, s 的值，从而初步识别出传递函数的简化形式：

      ν^(B)=w^(B)Bbδ^(B)\hat{\nu}(B) = \frac{\hat{w}(B)B^b}{\hat{\delta}(B)}

# 2. 拟合噪声序列

  • 根据已识别的传递函数，计算噪声序列的估计值：

    n^t=yt−ν^(B)xt\hat{n}_t = y_t - \hat{\nu}(B)x_t

  • 用一个合适的 ARMA 模型来拟合噪声序列 n^t\hat{n}_t，得到其模型参数：

    ϕ(B)nt=θ(B)at\phi(B)n_t = \theta(B)a_t

  • 至此，完整的传递函数模型结构为：

    yt=w(B)δ(B)xt−b+θ(B)ϕ(B)aty_t = \frac{w(B)}{\delta(B)}x_{t-b} + \frac{\theta(B)}{\phi(B)}a_t

# 3. 参数估计

  • 对已确定的模型结构进行参数估计。常用的方法包括拟极大似然估计 (quasi-MLE) 或条件最小二乘估计 (conditional LSE)。

# 4. 模型诊断与预测

  • 模型诊断：评估模型的拟合效果。

    • 交叉相关性检验：检查残差序列 {at}\{a_t\} 与输入序列 {xt}\{x_t\} 之间是否独立。
      • 使用统计量 Q0=m(m+2)∑j=0K{ρ^αa^(j)}2m−jQ_0 = m(m+2)\sum_{j=0}^{K}\frac{\{\hat{\rho}_{\alpha\hat{a}}(j)\}^2}{m-j}，该统计量近似服从自由度为 (K+1)−M(K+1)-M 的 χ2\chi^2 分布。其中 m=n−t0+1m=n-t_0+1 是计算残差 a^t\hat{a}_t 的数量，MM 是 ν(B)\nu(B) 中参数的数量。
    • 自相关函数 (ACF) 检验：检查残差序列 {at}\{a_t\} 是否为白噪声，以确定噪声模型 {nt}\{n_t\} 是否合适。
      • 使用统计量 Q1=m(m+2)∑j=0K{ρ^a^(j)}2m−jQ_1 = m(m+2)\sum_{j=0}^{K}\frac{\{\hat{\rho}_{\hat{a}}(j)\}^2}{m-j}，该统计量近似服从自由度为 K−p−qK-p-q 的 χ2\chi^2 分布。

  • 预测：若模型通过诊断，可用于未来值的预测。

# 多输入传递函数模型

传递函数模型可以推广到多输入系统，其一般形式为：

yt=∑j=1kνj(B)xj,t+nty_t = \sum_{j=1}^{k} \nu_j(B)x_{j,t} + n_t

其中 kk 是输入序列的数量。若使用简化形式，模型可以表示为：

yt=∑j=1kwj(B)δj(B)Bbjxj,t+θ(B)ϕ(B)aty_t = \sum_{j=1}^{k} \frac{w_j(B)}{\delta_j(B)} B^{b_j} x_{j,t} + \frac{\theta(B)}{\phi(B)}a_t