首页课程笔记统计系应用时间序列分析

# 虚假相关 (Spurious Correlation)

在分析时间序列数据时，我们常常需要检验两个时间序列 X={xt}X=\{x_t\} 和 Y={yt}Y=\{y_t\} 之间的相关性。

# 交叉协方差和交叉相关函数

  • 交叉协方差函数 (CCVF) γX,Y(t,s)\gamma_{X,Y}(t,s): 衡量 xtx_t 和 ysy_s 之间的协方差，其定义为 γX,Y(t,s)=Cov(xt,ys)\gamma_{X,Y}(t,s)=Cov(x_t,y_s)。
  • 交叉相关函数 (CCF) ρX,Y(k)\rho_{X,Y}(k): 衡量 xtx_t 和 yt−ky_{t-k} 之间的线性关系，也等同于 xt+kx_{t+k} 和 yty_t 之间的线性关系。其定义为 ρX,Y(k)=corr(xt,yt−k)=corr(xt+k,yt)\rho_{X,Y}(k)=corr(x_t,y_{t-k})=corr(x_{t+k},y_t)。

# CCF 在回归模型中的表现

考虑一个回归模型：

yt=β0+β1xt−d+ety_t=\beta_0+\beta_1x_{t-d}+e_t

其中 XX 是一个零均值的过程，其方差为 σX2\sigma_X^2；e={et}e=\{e_t\} 是一个白噪声过程 WN(0,σe2)WN(0,\sigma_e^2)，且与 XX 相互独立。

对于这个模型，CCF 的理论值为：

ρX,Y(−d)=corr(xt−d,yt)=β1σXβ12σX2+σe2\rho_{X,Y}(-d)=corr(x_{t-d},y_t)=\frac{\beta_1\sigma_X}{\sqrt{\beta_1^2\sigma_X^2+\sigma_e^2}}

对于其他时滞 k≠−dk \ne -d，CCF 的值为 ρX,Y(k)=0\rho_{X,Y}(k)=0。

# 样本交叉相关函数 (SCCF)

我们可以使用样本交叉相关函数 (SCCF) rX,Y(k)r_{X,Y}(k) 来估计 CCF，其计算公式为：

rX,Y(k)=∑(xt−xˉ)(yt−k−yˉ)∑(xt−xˉ)2∑(yt−k−yˉ)2r_{X,Y}(k)=\frac{\sum(x_t-\bar{x})(y_{t-k}-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_t-\bar{x})^2\sum(y_{t-k}-\bar{y})^2}}

当 β1=0\beta_1=0 时，XX 和 YY 在理论上是不相关的。此时，样本 SCCF rX,Y(k)r_{X,Y}(k) 近似服从均值为 0、方差为 1/n1/n 的正态分布，即 N(0,1/n)N(0, 1/n)，其中 nn 是样本容量。因此，当 SCCF 的绝对值远大于 1.96/n1.96/\sqrt{n} 时，我们可以认为相关系数在统计上显著，不为 0。

# 虚假相关性的产生

当时间序列 XX 和 YY 本身具有很强的自相关性（例如，它们都是非平稳的或接近非平稳的）时，即使它们之间没有因果关系，SCCF 也可能会显示出很高的显著性，从而导致虚假相关性。

考虑一个更复杂的情形：

yt=β0+β1xt−d+zty_t=\beta_0+\beta_1x_{t-d}+z_t

其中 zt∼ARIMA(p,d,q)z_t \sim ARIMA(p,d,q)。在这种情况下，nrX,Y(k)\sqrt{n}r_{X,Y}(k) 的渐近方差约为 1+2∑k=1∞ρk(X)ρk(Y)1+2\sum_{k=1}^\infty\rho_k(X)\rho_k(Y)。

特别地，当 XX 和 YY 都是一阶自回归过程 AR(1)AR(1)，其系数分别为 ϕX\phi_X 和 ϕY\phi_Y 时，nrX,Y(k)\sqrt{n}r_{X,Y}(k) 的渐近分布为 N(0,1+ϕXϕY1−ϕXϕY)N\left(0,\frac{1+\phi_X\phi_Y}{1-\phi_X\phi_Y}\right)。

可以注意到，当 ϕX\phi_X 和 ϕY\phi_Y 都接近 1 时（即序列接近非平稳），rX,Y(k)r_{X,Y}(k) 的样本方差会趋于无穷大。这使得即使 β1=0\beta_1=0，样本 SCCF 也会有很大的波动，导致误判为存在相关性，即假阳性。

# 预白化 (Prewhitening)

为了解决虚假相关的问题，我们可以采用预白化方法。该方法旨在消除时间序列内部的自相关性，从而更准确地检验它们之间的因果关系。

# 预白化的步骤

  1. 模型拟合: 首先，为输入时间序列 XX 拟合一个适当的时间序列模型，例如 ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。
  2. 获取白化滤波器: 从拟合好的模型中，获取一个白化滤波器。这通常是模型的 AR(∞)AR(\infty) 表示，用算子 π(B)\pi(B) 表示，使得经过变换后，残差序列 at=π(B)xta_t=\pi(B)x_t 成为白噪声序列。
  3. 对 Y 进行变换: 使用同样的滤波器 π(B)\pi(B) 对时间序列 YY 进行变换，得到一个新的序列 y~t=π(B)yt\tilde{y}_t=\pi(B)y_t。
  4. 检验: 计算并检验白噪声序列 {at}\{a_t\} 和变换后序列 {y~t}\{\tilde{y}_t\} 之间的 SCCF。

# 预白化的优势

  • 显著性检验更可靠: 经过预白化后，用于检验的 SCCF 具有更可靠的统计特性。此时，我们可以再次使用 1.96/n1.96/\sqrt{n} 作为临界值来判断 SCCF 的显著性，降低了假阳性的概率。
  • CCF 与回归系数成正比: 经过预白化后估算出的 CCF 的理论值与原始回归模型中的回归系数成正比，这使得CCF的解释更加直接。