首页课程笔记统计系应用时间序列分析

# 干预分析

干预分析旨在识别并量化外部事件对时间序列数据的影响。

# 通用干预模型

一个受干预的时间序列 yty_t 可被分解为两部分：

yt=mt+Nty_t = m_t + N_t

其中：

  • NtN_t 是不受干预影响的自然过程，通常建模为 ARIMAARIMA 过程（可以是季节性或非季节性的）。
  • mtm_t 是由干预事件引起的均值变化，即干预效应。

# 阶跃干预 (Step Intervention)

阶跃干预指的是在某个时间点 TT 之后，干预效果持续存在。

  • 阶跃函数：

    St(T)={1t≥T0t<TS_t^{(T)}=\begin{cases} 1 & t \ge T \\ 0 & t < T \end{cases}

  • 建模：干预效应 mtm_t 可以用一个 AR(1)AR(1) 过程来建模，其误差项由阶跃函数替代：

    mt=δmt−1+wSt−1(T)m_t = \delta m_{t-1} + wS_{t-1}^{(T)}

    该模型可写为：

    mt=wB1−δBSt(T)m_t = \frac{wB}{1 - \delta B} S_t^{(T)}

    解得：

    mt=∑j=0∞δjwSt−1−j(T)m_t = \sum_{j=0}^{\infty} \delta^j wS_{t-1-j}^{(T)}

  • 当初始条件 m0=0m_0=0 时的解：

    mt={w1−δ(1−δt−T)t>T0t≤Tm_t = \begin{cases} \frac{w}{1-\delta}(1-\delta^{t-T}) & t > T \\ 0 & t \le T \end{cases}

  • 极限行为：

    lim⁡t→∞mt={wδ=0w1−δδ∈(0,1)w(t−T)δ=1\lim_{t \to \infty} m_t = \begin{cases} w & \delta = 0 \\ \frac{w}{1-\delta} & \delta \in (0, 1) \\ w(t-T) & \delta = 1 \end{cases}

  • 干预效果的半衰期：当干预效果衰减到其稳定水平的一半所需的时间。

    1−δt−T=0.5  ⟹  t=T+log⁡(0.5)log⁡(δ)1 - \delta^{t-T} = 0.5 \implies t = T + \frac{\log(0.5)}{\log(\delta)}

# 脉冲干预 (Pulse Intervention)

脉冲干预指的是只在某个特定时间点 TT 产生影响的干预。

  • 脉冲函数：

    Pt(T)={1t=T0t≠TP_t^{(T)}=\begin{cases} 1 & t = T \\ 0 & t \ne T \end{cases}

  • 建模：干预效应 mtm_t 同样可以由 AR(1)AR(1) 过程建模，其误差项由脉冲函数替代：

    mt=δmt−1+wPt−1(T)m_t = \delta m_{t-1} + wP_{t-1}^{(T)}

    该模型可写为：

    mt=wB1−δBPt(T)m_t = \frac{wB}{1-\delta B} P_t^{(T)}

# 复杂干预

复杂的干预可以通过叠加不同的干预模型来构建。

  • 叠加示例：

    mt=w1B1−δBPt(T)+w2B1−BPt(T)m_t = \frac{w_1B}{1-\delta B}P_t^{(T)} + \frac{w_2B}{1-B}P_t^{(T)}

  • 更一般的模型：干预效应 mtm_t 可以用 ARMAARMA 模型来描述：

    mt=w(B)δ(B)Pt(T)m_t = \frac{w(B)}{\delta(B)}P_t^{(T)}

# 参数估计

干预模型的参数通常采用最大似然估计 (MLE) 方法进行估计。

# 时间序列离群值检测

时间序列离群值是数据中与序列其余部分行为不一致的观测值。主要分为两类。

# 加性离群值 (Additive Outlier, AO)

加性离群值直接影响单个观测值 yTy_T，但对后续观测值没有持续影响。

  • 模型：

    yt′=yt+wAPt(T)y_t' = y_t + w_A P_t^{(T)}

    其中：
    • yty_t 是未受干扰的原始过程。
    • yt′y_t' 是受加性离群值影响的观测过程。
    • Pt(T)P_t^{(T)} 是脉冲函数。
    • wAw_A 是离群值的效应大小。

# 新生离群值 (Innovational Outlier, IO)

新生离群值影响时间序列的误差项 εT\varepsilon_T，因此其影响会通过模型的动态结构传播到后续观测值中，但会逐渐衰减。

  • 模型：

    εt′=εt+wIPt(T)\varepsilon_t' = \varepsilon_t + w_I P_t^{(T)}

  • 对观测值的影响：将未受干扰的原始过程 yty_t 写成 MA(∞)MA(\infty) 形式：

    yt=∑j=0∞ψjεt−j=εt+ψ1εt−1+ψ2εt−2+…y_t = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \varepsilon_{t-j} = \varepsilon_t + \psi_1 \varepsilon_{t-1} + \psi_2 \varepsilon_{t-2} + \dots

    则受影响的观测过程 yt′y_t' 为：

    yt′=yt+ψt−TwIy_t' = y_t + \psi_{t-T} w_I

    由于 ψ0=1\psi_0=1 且 ψj=0\psi_j=0 (当 j<0j<0)，新生离群值的影响会通过 ψj\psi_j 系数传播，并随时间逐渐减弱。

# 离群值检测方法

离群值检测通常基于模型残差。

  • AO 检测：

    1. 残差模型：将原始过程写成 AR(∞)AR(\infty) 形式：

      at=yt′−π1yt−1′−π2yt−2′−…a_t = y_t' - \pi_1 y_{t-1}' - \pi_2 y_{t-2}' - \dots

      则受 AO 影响的残差可表示为：

      at=εt−wAπt−Ta_t = \varepsilon_t - w_A \pi_{t-T}

      其中 π0=−1\pi_0 = -1 且 πj=0\pi_j = 0 (当 j<0j<0)。
    2. AO 大小估计：wAw_A 的最小二乘估计量为：

      w^A,T=−ρ2∑t=1nπt−Tat\hat{w}_{A,T} = -\rho^2 \sum_{t=1}^n \pi_{t-T} a_t

      其中 ρ2=(1+π12+⋯+πn−T2)−1\rho^2 = (1 + \pi_1^2 + \dots + \pi_{n-T}^2)^{-1}，估计量的方差为 ρ2σ2\rho^2 \sigma^2。
    3. 假设检验：在零假设 H0H_0（没有 AO）下，检验统计量为：

      λA,T=w^A,Tρσ≈N(0,1)\lambda_{A,T} = \frac{\hat{w}_{A,T}}{\rho \sigma} \approx N(0,1)

      如果 ∣λA,T∣>1.96|\lambda_{A,T}| > 1.96（或根据 Bonferroni 准则调整），则拒绝 H0H_0，认为存在 AO。

  • IO 检测：

    1. 残差模型：受 IO 影响的残差为：

      at={wI+εtt=Tεtt≠Ta_t = \begin{cases} w_I + \varepsilon_t & t = T \\ \varepsilon_t & t \ne T \end{cases}

    2. 假设检验：在零假设 H0H_0（没有 IO）下，检验统计量为：

      λI,T=aTσ≈N(0,1)\lambda_{I,T} = \frac{a_T}{\sigma} \approx N(0,1)

      如果 ∣λI,T∣>1.96|\lambda_{I,T}| > 1.96（或根据 Bonferroni 准则调整），则拒绝 H0H_0，认为存在 IO。

  • 离群点类型判定：

    • 当离群点时间 TT 未知时，通常采用 Bonferroni 准则进行多重检验校正。计算所有可能时间点的检验统计量，并取最大值：λ=max⁡1≤t≤n∣λt∣\lambda = \max_{1 \le t \le n} |\lambda_t|。
    • 判定规则：如果 ∣λI,T∣>∣λA,T∣|\lambda_{I,T}| > |\lambda_{A,T}|，则判定该离群点为 IO；否则，判定为 AO。