6. 季节性时间序列模型

# 传统分析方法

季节性时间序列 $y_t$ 通常可以分解为三个部分：趋势项 $P_t$ 、季节项 $S_t$ 和随机误差项 $e_t$ 。

$y_t = P_t + S_t + e_t$

其中， $P_t$ 代表序列的长期趋势， $S_t$ 代表序列在固定周期内的重复模式，而 $e_t$ 则代表无法被趋势和季节性解释的随机波动。

回归分析是分解季节性时间序列的一种常用方法。它将序列 $y_t$ 建模为趋势项和季节项的函数。

$y_t=\left(\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iU_{it}\right)+\left(\sum_{j=1}^k\beta_jV_{jt}\right)+e_t$

其中，趋势项 $P_t$ 和季节项 $S_t$ 可以采用不同的形式进行建模：

多项式趋势项： $P_t$ 可以用 $m$ 阶多项式表示，用来拟合数据的长期变化趋势。
$P_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_it^i$
指示变量季节项： $S_t$ 可以用指示变量（也称虚拟变量）的线性组合表示，用来捕捉不同季节效应。
$S_t=\sum_{j=1}^{s-1}\beta_jD_{jt},~D_{jt}=I_{t\in Sea(j)}$
其中， $I_{t\in Sea(j)}$ 是一个指示函数，当时间 $t$ 处于第 $j$ 个季节时为1，否则为0。
周期函数季节项： $S_t$ 也可以用周期函数（例如正弦和余弦函数）表示，适用于季节性模式呈现平滑周期变化的情况。
$S_t=\sum_{j=1}^{[s/2]}\beta_j\sin(2\pi jt/s)+\gamma_j\cos(2\pi jt/s)$

移动平均方法的核心思想是，通过对时间序列进行平滑处理，可以消除或显著减弱其季节性成分。这种方法假设在一年内对季节性时间序列求和后，季节性信息会相互抵消。

非季节性成分估计：
非季节性成分 $N_t = P_t + e_t$ 可以通过对称的移动平均来估计，从而平滑掉季节性波动。
$\widehat{N}_t=\sum_{i=-m}^m\lambda_iy_{t-i}$
其中， $\lambda_i=\lambda_{-i}$ ，且 $\sum_{i=-m}^m\lambda_i=1$ 。
季节性成分估计与季节性调整：
对季节性成分的估计是通过从原始序列中减去估计的非季节性成分得到的。
$\widehat{S}_t=y_t-\widehat{N}_t$
这个分解过程被称为季节性调整（seasonal adjustment）。而 $y_t - \widehat{S}_t$ 则被称为季节性调整序列。

季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）是传统 ARIMA 模型的扩展，专门用于处理具有季节性的时间序列数据。它通常表示为 $ARIMA(p,d,q)\times(P,D,Q)_s$ 。

$\Phi_P(B^s)\phi_p(B)(1-B)^d(1-B^s)^D\dot{y}_t=\theta_q(B)\Theta_Q(B^s)\varepsilon_t$

其中：

$B$ 是后移算子（backshift operator）， $B^k y_t = y_{t-k}$ 。
$\dot{y}_t = y_t - \mu$ （若 $d=D=0$ ），否则为 $y_t$ 。
$(p, d, q)$ $(p, d, q)$ 是非季节性部分的参数：
- $\phi_p(B) = 1-\phi_1B-\cdots-\phi_pB^p$ 为非季节性 AR 因子。
- $(1-B)^d$ 为非季节性差分算子。
- $\theta_q(B) = 1-\theta_1B-\cdots-\theta_qB^q$ 为非季节性 MA 因子。
$(P, D, Q)_s$ $(P, D, Q)_{s}$ 是季节性部分的参数，其中 $s$ $s$ 代表季节性周期：
- $\Phi_P(B^s) = 1-\Phi_1B^s-\cdots-\Phi_PB^{Ps}$ 为季节性 AR 因子。
- $(1-B^s)^D$ 为季节性差分算子。
- $\Theta_Q(B^s) = 1-\Theta_1B^s-\cdots-\Theta_QB^{Qs}$ 为季节性 MA 因子。

航空模型是一种著名的 SARIMA 模型，常用于月度航空乘客数据。它是一个 $ARIMA(0,1,1)\times(0,1,1)_{12}$ 模型，其表达式为：

$(1-B)(1-B^{12})y_t=(1-\theta B)(1-\Theta B^{12})\varepsilon_t$

这个模型包含了非季节性一阶差分 $(1-B)$ 和季节性周期为12的一阶差分 $(1-B^{12})$ ，同时还有非季节性一阶移动平均项 $(1-\theta B)$ 和季节性一阶移动平均项 $(1-\Theta B^{12})$ 。

自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是分析时间序列数据的重要工具。通过计算和观察季节性时间序列的 ACF 和 PACF 图，可以帮助我们识别非季节性和季节性差分阶数 ( $d, D$ )，以及模型的自回归和移动平均阶数 ( $p, q, P, Q$ )。