首页课程笔记统计系应用时间序列分析

# 概述：确定性趋势与随机趋势的比较

非平稳时间序列主要有两种类型：趋势平稳（Trend Stationary） 和 差分平稳（Difference Stationary）。趋势平稳序列具有确定性时间趋势，而差分平稳序列（也称单位根过程）则包含随机趋势。

# 趋势平稳（确定性时间趋势）

yt=α+δt+ψ(B)εt,y_t=\alpha+\delta t+\psi(B)\varepsilon_t,

其中 BB 是滞后算子，Bεt=εt−1B\varepsilon_t = \varepsilon_{t-1}，ψ(B)=∑j=0∞ψjBj, ψ0=1, ∑j=0∞∣ψj∣<∞\psi(B)=\sum_{j=0}^\infty\psi_jB^j,~\psi_0=1,~\sum_{j=0}^\infty|\psi_j|<\infty。

  • 预测行为： 长期预测值 yt+h∣ty_{t+h|t} 随着预测期 hh 的增加，将收敛到确定性时间趋势 α+δ(t+h)\alpha+\delta(t+h)。预测误差的均方误差（MSE）收敛到常数，即 E(yt+h−yt+h∣t)2→σ2∑j=0∞ψj2E(y_{t+h}-y_{t+h|t})^2 \to \sigma^2\sum_{j=0}^\infty\psi_j^2。
  • 冲激响应： 外部冲击 εt\varepsilon_t 对序列 yty_t 的影响是暂时的，即 lim⁡h→∞∂yt+h∂εt=0\lim_{h\to\infty}\frac{\partial y_{t+h}}{\partial\varepsilon_t}=0。
  • 平稳化： 通过减去确定性时间趋势项 δt\delta t，即 yt∗=yt−δty^*_t=y_t-\delta t，可以得到一个平稳序列。如果对原始序列进行差分，即 Δyt=δ+(1−B)ψ(B)εt\Delta y_t=\delta+(1-B)\psi(B)\varepsilon_t，也会得到一个平稳序列，但这种操作会引入一个单位根。

# 单位根过程（差分平稳或随机趋势）

(1−B)yt=δ+ψ(B)εt, ψ(1)≠0,(1-B)y_t=\delta+\psi(B)\varepsilon_t,~\psi(1)\ne0,

例如，一个具有漂移 δ\delta 的随机游走过程：Δyt=(1−B)yt=δ+εt\Delta y_t=(1-B)y_t=\delta+\varepsilon_t。

  • 预测行为： 长期预测值 yt+h∣ty_{t+h|t} 随着预测期 hh 的增加，将收敛到 hδ+yth\delta+y_t。预测误差的均方误差（MSE）将随着 hh 的增加而无限增大，即 E(yt+h−yt+h∣t)2∝hE(y_{t+h}-y_{t+h|t})^2 \propto h。
  • 冲激响应： 外部冲击 εt\varepsilon_t 对序列 yty_t 的影响是永久的，即 lim⁡h→∞∂yt+h∂εt=ψ(1)≠0\lim_{h\to\infty}\frac{\partial y_{t+h}}{\partial\varepsilon_t}=\psi(1)\ne 0。
  • 平稳化： 通过一阶差分 Δyt\Delta y_t 可以消除随机趋势，得到一个平稳序列。需要一阶差分才能平稳化的序列称为一阶积分，记作 I(1)I(1)；需要二阶差分平稳化的则为 I(2)I(2)。

# 非平稳 AR 模型与单位根

# 单位根的影响

对于一个自回归（AR）模型，如果其特征方程 ϕp(z)=0\phi_p(z)=0 有一个根位于单位圆上（即 z=1z=1），则该模型包含一个单位根。

  • 自相关函数（ACF）： 单位根的存在导致 ACF 随时间衰减缓慢甚至不衰减。
  • 永久性冲击： 外部冲击对序列的影响是永久的。例如，对于随机游走过程 yt=yt−1+εty_t=y_{t-1}+\varepsilon_t，序列值是所有历史冲击的累积和，即 yt=∑i=0tεiy_t=\sum_{i=0}^t\varepsilon_i。

# 趋势回归与随机趋势

考虑一个 AR(1) 模型 yt−μ−δt=ϕ(yt−1−μ−δ(t−1))+εty_t-\mu-\delta t=\phi(y_{t-1}-\mu-\delta(t-1))+\varepsilon_t。

  • 如果 ∣ϕ∣<1|\phi|<1，序列是趋势平稳的，具有均值（趋势）回归特征，即 yty_t 围绕确定性趋势线波动。
  • 如果 ∣ϕ∣=1|\phi|=1，序列是差分平稳的，是具有漂移 δ\delta 的随机游走。在这种情况下，yt=y0+δt+∑i=1tεiy_t=y_0+\delta t+\sum_{i=1}^t \varepsilon_i，序列值由一个确定性趋势和累积的随机冲击组成，其中 ∑i=1tεi\sum_{i=1}^t \varepsilon_i 构成随机趋势。

# 单位根检验

# 检验的意义与挑战

单位根检验旨在判断时间序列是趋势平稳还是差分平稳，这对于理解外部冲击的影响是暂时的还是永久的至关重要。然而，对于任何一个单位根过程，都存在一个与之非常接近的平稳过程，使得在有限样本下难以区分它们。

# ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验

ADF 检验是最常用的单位根检验方法。它基于以下模型：

Δyt=ρyt−1+∑j=1p−1αj∗Δyt−j+εt\Delta y_t=\rho y_{t-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\alpha_j^*\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t

其中，ρ=ϕ1+⋯+ϕp−1\rho=\phi_1+\cdots+\phi_p-1。

  • 原假设和备择假设：
    • H0:ρ=0H_0: \rho = 0（存在单位根，序列是差分平稳的）
    • H1:ρ<0H_1: \rho < 0（不存在单位根，序列是平稳的或趋势平稳的）
  • 检验统计量： 使用 t(ρ^)=ρ^/std(ρ^)t(\hat{\rho})=\hat{\rho}/std(\hat\rho) 作为检验统计量。由于在 H0H_0 下 yty_t 是非平稳的，因此其渐近分布不是标准正态分布，需要使用特殊的临界值。

根据序列的特征，ADF 检验可以分为三种类型：

  1. 零均值、无趋势检验：
    模型：Δyt=ρyt−1+∑j=1p−1αj∗Δyt−j+εt\Delta y_t=\rho y_{t-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\alpha_j^*\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t

    • 如果拒绝 H0H_0，序列是零水平的平稳过程。
    • 如果不拒绝 H0H_0，序列是零初值的随机游走。

  2. 非零均值、无趋势检验：
    模型：Δyt=ρyt−1+∑j=1p−1αj∗Δyt−j+μ∗∗+εt\Delta y_t=\rho y_{t-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\alpha_j^*\Delta y_{t-j}+\mu^{**}+\varepsilon_t

    • 如果拒绝 H0H_0，序列是非零均值的平稳过程。
    • 如果不拒绝 H0H_0，序列是随机游走（之后需检验 μ∗∗\mu^{**} 是否显著非零，以区分无漂移和有漂移的随机游走）。

  3. 有趋势检验：
    模型：Δyt=ρyt−1+∑j=1p−1αj∗Δyt−j+μ∗∗+δ∗∗t+εt\Delta y_t=\rho y_{t-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\alpha_j^*\Delta y_{t-j}+\mu^{**}+\delta^{**}t+\varepsilon_t

    • 如果拒绝 H0H_0，序列是趋势平稳过程。
    • 如果不拒绝 H0H_0，序列是随机游走（之后需检验 δ∗∗\delta^{**} 是否显著非零，以区分有漂移和二次趋势）。

# 爆炸性 AR(1) 模型

# 模型与参数估计

  • 模型： yt=ϕyt−1+εty_t=\phi y_{t-1}+\varepsilon_t
  • 参数估计： ϕ^(n)=∑t=1nytyt−1∑t=1nyt−12\hat{\phi}^{(n)}=\frac{\sum_{t=1}^ny_ty_{t-1}}{\sum_{t=1}^ny_{t-1}^2}
  • 渐近性质： 当 ∣ϕ∣>1|\phi|>1 且 y0=0y_0=0 时，∑t=1nyt−12(ϕ^n−ϕ0)\sqrt{\sum_{t=1}^ny_{t-1}^2}(\hat{\phi}_n-\phi_0) 渐近服从正态分布。当 ∣ϕ∣=1|\phi|=1 时，n(ϕ^n−1)n(\hat{\phi}_n-1) 的渐近分布是非标准的。

# 近平稳 AR(1) 模型

# 模型与参数估计

  • 模型： yn,t=ϕnyn,t−1+εt, yn,0=0, 1≤t≤ny_{n,t}=\phi_ny_{n,t-1}+\varepsilon_t,~y_{n,0}=0,~1\le t\le n，其中 ϕn=1−γn\phi_n=1-\frac{\gamma}{n}
  • 渐近性质： 此时 ∑t=1nyt−12(ϕ^n−ϕ0)\sqrt{\sum_{t=1}^ny_{t-1}^2}(\hat{\phi}_n-\phi_0) 的渐近分布也是非标准的。