1. 时间序列前置知识

# 滞后算子（Backshift Operator）$B$

滞后算子 $B$ 是一个用于表示时间序列数据向后移动的数学工具。

• 定义： 滞后算子 $B$ 作用于一个时间序列 $y_t$，将其值向后移动一个时间步长。

  $$By_t := y_{t-1}$$

• 多次作用： 滞后算子可以连续作用多次，表示将时间序列值向后移动多个时间步长。

  $$B^p y_t := y_{t-p}$$

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# 差分算子（Difference Operator）$\Delta$

差分算子用于计算时间序列相邻值之间的差。

• 定义： 差分算子 $\Delta$ 可以用滞后算子表示，其计算结果是当前值与上一个值之差。

  $$\Delta y_t = (1-B)y_t = y_t - By_t = y_t - y_{t-1}$$

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# 因果时间序列（Causal Time Series）

因果时间序列是指当前值只与当前及过去时间的随机冲击（或称白噪声）有关，与未来冲击无关。

• 定义： 一个时间序列 $y_t$ 被称为因果时间序列，如果它可以表示为当前及过去时间随机冲击的函数。

  $$y_t = f(\varepsilon_{t-j} : j \ge 0)$$

  其中，$\varepsilon_t$ 表示在时间 $t$ 发生的随机冲击或白噪声。