13. 因子ANOVA诊断

# 假设条件检查

进行因子 ANOVA 之前，需要对以下几个关键假设进行诊断：

• 独立性：这是最重要的假设，如果违反将严重影响结果。
• 方差齐性：即各组的方差相等。当进行成对比较（pairwise comparison）时，该假设的违反会产生较大影响。但如果数据是平衡的（各组样本量相等），则 ANOVA 对方差不齐的鲁棒性会增加。
• 正态性：即残差服从正态分布。该假设最不重要，因为许多 ANOVA 方法对非正态性是鲁棒的。值得注意的是，非正态性通常由异方差（heteroscedasticity）引起。

# 诊断方法

# 独立性诊断

• 时间序列独立性：通过分析时间序列数据来检查独立性。
  • 正自相关（Positive Serial Correlation）：相邻时间点的样本值趋于相似。
  • 负自相关（Negative Serial Correlation）：相邻时间点的样本值趋于偏离。

# 离群值诊断

• 单因子 ANOVA：单因子 ANOVA 模型中，$Y_{ij}$ 的杠杆值（leverage）为 $1/n_i$。
• 平衡设计：在平衡设计（各组样本量相等）中，所有观察值的影响力都是相同的。

# 正态性检验

以下是常用的正态性检验方法：

• Wilk-Shapiro 检验
• Anderson-Darling 检验
• Kolmogorov-Smirnov 检验

# 方差齐性检验

以下是常用的方差齐性检验方法：

• Bartlett's 检验：本质上是一种似然比检验（Likelihood ratio test）。
• 修正 Levene's 检验（在 KNNL 中也称作 Brown-Forsythe 检验）。
• Hartley's 检验：
  • 检验统计量为 $H^*=\max(s_i^2)/\min(s_i^2)$，当各组样本量相等 ($n_i=n$) 时，其服从 $H(r,n-1)$ 分布。
  • 当 $H^* > 2$ 时，通常拒绝原假设（方差齐性）。

# 应对措施

# 数据变换

当出现异方差和非正态性时，可以考虑对数据进行变换。常用的变换方法取决于方差与均值的关系：

• 当 $\sigma_i^2$ 与 $\mu_i$ 成正比时，使用平方根变换：$\sqrt{Y}$。
• 当 $\sigma_i$ 与 $\mu_i$ 成正比时，使用对数变换：$\log(Y)$。
• 当 $\sigma_i$ 与 $\mu_i^2$ 成正比时，使用倒数变换：$1/Y$。
• 处理比例数据时，使用反正弦平方根变换：$\arcsin(\sqrt{Y})$。

# 加权 ANOVA

如果无法通过变换解决异方差问题，可以采用加权 ANOVA，其权重 $w_i$ 通常设为 $1/s_i$。

# 非参数方法

非参数方法通常只要求响应变量是连续的，是处理违反假设情况的另一种选择。

• Kruskal-Wallis 秩和检验：这是一种常见的非参数检验，用于替代单因子 ANOVA。